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テーラー級数【テーラーきゅうすう】

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

テーラー級数
テーラーきゅうすう
Taylor series
この級数は,テーラー定理から得られる。テーラーの展開式を用いれば,閉区間 [aah] で連続で,この区間内ですべての次数の導関数が存在する関数 yf(x) は,次のようなべき級数の和の形に表わすことがでる。
ただしこの級数は,上式の右辺の剰余項 Rnf(n)(a+θh)hn/n! が n→∞ のとき0に収束するようなすべての x の値について成立する。上の級数を,f(x) を展開して得られるテーラーの級数という。

出典:ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典
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世界大百科事典 第2版

テーラーきゅうすう【テーラー級数 Taylor series】
実変数xの関数f(x)がxaにおいて何回でも微分可能なとき,級数,f(x)のaを中心とするテーラー級数という。テーラー級数が収束するxの範囲および収束するときにそれが関数f(x)に等しくなるかどうかが問題となる。まずRを,によって定義する(ただし,この上極限が0のときはR=∞,上極限が∞のときはR=0とする)。このとき,|x|<Rならば級数(1)は収束するが,それがf(x)を表すとは限らない。f(x)がaを内部に含むある区間Iで何回でも微分可能ならば,その区間の中のxに対して次のように表される。

出典:株式会社平凡社
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日本大百科全書(ニッポニカ)

テーラー級数
てーらーきゅうすう

関数f(x)がx=aの近傍で無限回微分可能であるとき、次の級数を、x=aの周りのf(x)のテーラー級数という。


 f(x)のテーラー展開の剰余項が0に収束するならば、そのテーラー級数はf(x)に収束し、つまりf(x)はテーラー級数に展開されることになる。無限回微分可能な関数がいつでもテーラー級数に展開できるとは限らないが、多くの関数がテーラー級数展開をもつ。表1ではx=0の周りの級数に展開した。関数がこのように展開されるときは、この級数は、xを複素数としても、|x|<rという範囲またはすべてのxについて収束する。したがって実数値xについて定義された関数を、その定義をこの右辺の級数によって複素数の範囲まで拡大することができる(表2)。複素変数の関数f(x)について、このように、あるx=aの近傍でテーラー級数に展開できる関数は、この近傍において正則であるといい、このような関数を研究する分野が関数論である。テーラー級数は、多変数の場合にも論ずることができる。

[竹之内脩]

出典:小学館 日本大百科全書(ニッポニカ)
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