●ポテンシャル

力の場とポテンシャル

質点の受ける力が空間の場所により定まっているとき、その空間を力の場という（たとえば、太陽の周りの重力の場、ただし、太陽は空間に静止しているものとする）。力の場に基準点Aをとり、そこに静止している質量mの質点を静かに（速度、加速度がゼロ、したがって無限の時間をかけて）別の点Pまで運ぶ仕事量W(A-Γ-P)が途中の道筋ΓによらずPの位置P(x,y,z)のみで定まる場合に限り
　　W(A-Γ-P)＝W(P)＝W(x,y,z)
なる関数をこの力の場における質点mのポテンシャルとよび、この種の場を保存力の場という。Pまで運ぶ仕事が途中の道筋によって違うということがおこるのは、たとえば力の場が渦を巻いている場合である（図A）。

［江沢　洋］

ポテンシャルの場

保存力の場における質点mのポテンシャルは空間の各点で値（スカラー）が定まっているので、これも場である。座標の原点Oに固定された点電荷Qがあり、質点mも電荷qをもっているとし、二つの電荷は同符号とすれば、質点mにはOを中心とし逆二乗の法則に従う斥力が働く。この力は保存力であって、ポテンシャルの場W(x,y,z)をもつことが証明される。質点mに働く力は斥力で、点Oに近づくほど強くなるから、mをOの近くまで運ぼうとすれば、それだけ大きな仕事をしなければならない。それゆえz＝0の面上に限定してW(x,y,0)の値をグラフにすると図Bの(1)のような山の形（ポテンシャルの山）ができる。これがポテンシャルの場の一つの表し方である。この山はまた、等高線（等ポテンシャル線とよぶ）をxy面に描くことにしても表現できる（z＝0に限定しなければ等ポテンシャル「面」で表現することになる）。ポテンシャルの山は、もとの力の場も表現している。実際、質点mを等ポテンシャル線に沿って運ぶのに仕事は不要だから、図Bの(2)の点Pで質点mに働く力は等ポテンシャル線に沿う成分をもたないことが、まずわかる。力は等ポテンシャル線に垂直な成分をもつのみだから、その成分をf(P)と書いてみる。質点mを静かに山の上方の点P'まで引き上げるには、質点に－f(P)の力を加えるので、－f(P)・PP'だけの仕事をすることになる。これがポテンシャルの増加
　　W(P')－W(P)
になるわけだから、

が導かれる（正確にはP'→Pの極限をとる）。つまり力は、ポテンシャルの山からその勾配(こうばい)として求められる。このことは、いま考えた電荷の間の力に限らず一般にいえる。

［江沢　洋］

『戸田盛和著『物理入門コース1　力学』（1982・岩波書店）』▽『原島鮮著『質点の力学』改訂版（1984・裳華房）』▽『S・ガシオロウィッツ著、林武美・北門新作訳『量子力学1』（1998・丸善）』▽『江沢洋著『量子力学1、2』（2002・裳華房）』▽『江沢洋著『力学――高校生・大学生のために』（2005・日本評論社）』