●三角形【さんかくけい】

1直線上にない3点A,B,Cがあるとき，三つの線分AB,BC,CAでできる図形を三角形ABCといい，△ABCで表す。A,B,Cをその頂点，BC,CA,ABをその辺という。各頂点に対しその点を含まない辺を対辺という。三角形の頂点からその対辺への距離をその対辺を底辺とみたときの高さという(図1)。△ABCにおいて，∠BACを頂点Aにおける内角または頂角といい，∠Aで表す。これに対し，図2における∠B′ACおよび∠BAC′を頂点Aにおける外角という。

同一直線上にない3点とそれらを結んでできる三つの線分からなる図形。その3点を三角形の頂点といい、三つの線分を三角形の辺という。三角形の二つの辺でできる三つの角を三角形の角といい、3辺、3角を三角形の六要素という。三角形の三つの角の和はどの三角形でも一定で180度である。三角形の2辺の和は第3辺より長く、2辺の差は第3辺より短い。三角形の三つの頂点を通る円を外接円といい、三角形の三つの辺に接する円を内接円という。どの三角形も外接円、内接円がかける。
　三角形の六要素、すなわち、3辺3角のうち、(1)2辺とその挟む角を与えれば三角形は定まる。(2)2角を与えれば残りの角も定まり、さらに1辺を定めれば三角形は決定する。(3)線分を三つ与えて、2線分の長さの和がもう一つの線分の長さよりもつねに大きいという条件を満たすなら、3線分を辺とする三角形が決定する。以上の3条件をそれぞれ、辺角辺、角辺角、辺辺辺の決定条件という。
　三角形の三つの角がいずれも鋭角のとき鋭角三角形という。三角形の一つの角が直角のとき直角三角形、一つの角が鈍角のとき鈍角三角形という。直角三角形や鈍角三角形では残りの2角はいずれも鋭角である。三角形の2辺が等しいとき二等辺三角形といい、等しい2辺が挟む角を頂角、その対辺を底辺という。二等辺三角形の底辺の両端の角は大きさが等しく、それらを二等辺三角形の底角という。三角形の3辺が等しいとき三つの角も等しくなり、その大きさは60度である。3辺の等しい三角形を正三角形という。直角三角形で直角を挟む2辺が等しい三角形を直角二等辺三角形という。その底角は45度である。また、正三角形の一つの垂線で分けられる直角三角形の二つの角は60度、30度である。直角三角形の直角に対する辺を直角三角形の斜辺という。
　三角形の外接円の中心、内接円の中心をそれぞれ三角形の外心、内心という。このほか三角形については特有な点がある。重心、垂心、傍(ぼう)心である。あわせて三角形の五心という。［柴田敏男］

三角形の面積

三角形の面積を表す公式はいろいろある。1辺の長さがaで、これに対する高さがhの三角形の面積Sは、S＝ah/2である。また、2辺の長さa、bの積に、その挟む角θの正弦の2分の1を乗じてもよい。つまり、S＝(absinθ)/2である。面積を三角形の3辺で表す公式にヘロンの公式がある。3辺の長さをa、b、cとすれば、三角形の面積Sは

で表される。ここでs＝(a＋b＋c)/2である。［柴田敏男］

三つの線分で囲まれた多角形。さんかっけい。

⇒さんかくけい