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二項分布【にこうぶんぷ】

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

二項分布
にこうぶんぷ
binomial distribution
応用上しばしば用いられる確率分布の一つ。たとえば○×式でえる問題があるとし,この問題にまったくでたらめに答えて,10問中 8問が正答になる確率を求めるには,独立試行回数 n=10,10問中正答になる回数 r=8,でたらめに○×をつけるから○をつける確率 p=1/2,また q=1-p=1/2とおいて,次の公式を適用すればよい。いまその確率を Pr(Xr)とおくと,

Pr(Xr)=nCrpr(1-pn-r

すなわち,上の問題の答は

Pr(X=8)=10C8(1/2)8(1/2)10-8=0.044

となる。
ここに で,二項係数である。一般にある事象 E の起こる確率を p とするとき,n 回の独立試行を繰り返すときに事象 E が現れる回数を指示する確率変数を X,実際に起こる回数を一般に rr=0,1,…,n)で示すと,X が値(実現値)r をとる確率 Pr(Xr)が nCrpr(1-pn-r で与えられ,二項分布といわれる。Xn+1の値でしか正の値の確率をもたないから離散的である。

出典:ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典
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デジタル大辞泉

にこう‐ぶんぷ〔ニカウ‐〕【二項分布】
ある試行において、事象Eが起こる確率をp、起こらない確率をqとし、独立にn回試行するとき、その事象Er回起こる確率nCrprqn-r分布の状態。

出典:小学館
監修:松村明
編集委員:池上秋彦、金田弘、杉崎一雄、鈴木丹士郎、中嶋尚、林巨樹、飛田良文
編集協力:田中牧郎、曽根脩
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法則の辞典

二項分布【binomial distribution】
離散分布の一つ.その確率関数は

fx)=nCxpx(1-px

となる.

出典:朝倉書店
Copyright (C) 2009 Asakura Publishing Co., Ltd. All rights reserved.
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栄養・生化学辞典

二項分布
 ある事象Aが起こる確率がPである場合,試行をn回繰り返したとき,Aがx回起こるとしたときのxの分布.

出典:朝倉書店
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世界大百科事典 第2版

にこうぶんぷ【二項分布 binomial distribution】
毎回独立に同じ偶然に支配される試行を繰り返す場合,各試行で二つの可能性(かりにそれらを成功および失敗と呼ぶ)しかないとき,これをベルヌーイ試行という。成功および失敗の確率が,それぞれpq=1-pであるn回のベルヌーイ試行において,ちょうどk回成功する確率をb(kn,p)とかけば, b(kn,p)=nCkpkqnk         (k=0,1,……,n) である。これを二項分布という。この分布の平均値はnpで分散はnpqである。

出典:株式会社平凡社
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日本大百科全書(ニッポニカ)

二項分布
にこうぶんぷ

ある試行において事象Eのおこる確率をpとする。この試行を独立にn回繰り返す場合にEのおこる回数をXと置くと、Xは確率変数であって、X=kとなる確率pk=P(X=k)は、q=1-pとして次式で与えられる。

  pk=nCkpkqn-k
     (k=0,1,……,n)
この確率分布を二項分布といい、B(n,p)と表す。

〔例1〕さいころを4回投げて、そのうちちょうど2回6の目の出る確率は

である。

 前記のnCkpkqn-kは、(q+p)nを二項定理によって展開した式
  nC0qn+nC1pqn-1+……
   +nCkpkqn-k+……+nCnpn
の項になっている。二項分布B(n,p)において、kを横軸に、pkを縦軸にとって(k=0,1,2,……,n)、折れ線グラフをつくると次のようになる。k0=np+p-1が整数であれば、pkはk<k0で単調増加、k=k0,k0+1で最大値をとり、k>k0+1で単調減少である。np+p-1が整数でなければ、np+p-1の整数部分をk0とするとpkはk<k0で単調増加で、k=k0で最大値をとり、k>k0で単調減少である。初めに述べた二項分布の定義から次のことが導かれる。確率変数X1、……、Xnは独立で
  P(Xi=1)=p, P(Xi=0)=q=1-p
  (i=1,……,n)
とする。このとき確率変数
  X1+X2+……+Xn
の確率分布は二項分布B(n,p)である。二項分布B(n,p)の平均値はnp、分散はnpqであり、特性関数は(peit+q)nである。

〔例2〕さいころを500回投げるとき、1の目が80回以上出る確率pを求めよ。

 求める確率pは

であるが、この値を直接計算することは容易でない。このような形の問題に対しては、次のように正規分布表を用いて計算を行う。二項分布の正規分布による近似確率変数Xの分布が二項分布B(n,p)であるとき、nが大きければ、確率変数

の分布は標準正規分布に近い(ラプラスの定理)。このことを利用して前の〔例2〕の確率pの近似値を求めることができる。0≦a<b≦nである二つの整数a、bに対して、p(a≦X≦b)はの青色部分の面積で、これはXと同じ平均および分散をもつ正規分布N(np,np(1-p))のグラフとx軸および2直線
  x=a-0.5, x=b+0.5
で囲まれた部分の面積とほぼ等しい。したがって、Zの分布を標準正規分布として

と置けば、次の近似式が成り立つ。

  P(a≦X≦b)≒P(α≦Z≦β)
この式により正規分布表を用いて〔例2〕のpを求めるとp=0.67が得られる。

[古屋 茂]

出典:小学館 日本大百科全書(ニッポニカ)
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精選版 日本国語大辞典

にこう‐ぶんぷ ニカウ‥【二項分布】
〘名〙 確率分布の一つ。ある試行で、確率事象Eの起こる確率がpであるとする。この試行をn回独立に行なうとき、Eの起こる回数をxとするとxは0、1、2、…、nというn通りの値をとる確率変数で、x=k となる確率は nCkpkqn-k (k=0,1,2,…,n かつ、q=1-p)となる。この確率変数xの分布をいう。nCkpkqn-k が二項式 p+q のn乗を展開したときの一般項であるところからこの名がある。

出典:精選版 日本国語大辞典
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