●交代式【こうたいしき】

n 個の文字 x₁，x₂，…，x_n の整式，あるいは有理式 F(x₁，x₂，…，x_n) において，任意の2変数 x_i，x_j を取替えると，もとの式と符号だけが変るとき，すなわち，

F(x₁，…，x_i，…，x_j，…，x_n)＝－F(x₁，…，x_j，…，x_i，…，x_n)

が成り立つとき，式 F を x₁，x₂，…，x_n の交代式という。たとえば，x₁－x₂＝－(x₂－x₁) であるから，x₁－x₂ は交代式である。差積 D(x₁，x₂，…，x_n)＝Π_i＜j(x_i－x_j) は交代式で，一般の交代式は

F(x₁，…，x_n)＝D(x₁，…，x_n)G(x₁，…，x_n)

と，差積と対称式 G との積として表わせる。

有理式において、その中の任意の二つの変数を交換すると、式の符号だけが変わった式となるもの。

3変数の多項式　f(x,y,z)＝x²y－y²x＋y²z－z²y＋z²x－x²z　g(x,y,z)＝x⁴y－y⁴x＋y⁴z－z⁴y＋z⁴x－x⁴z　　－x³y²＋x²y³－y³z²＋z³y²－z³x²＋x³z²において，xとyを入れかえると，符号が変わって，それぞれ－f(x,y,z)，－g(x,y,z)となる。yとzあるいはzとxを入れかえても同じである。このような多項式のことを交代式と呼ぶ。一般にn変数の多項式f(x₁，……，x_n)のうちで，変数x₁，……，x_nの順序を入れかえたとき，f(x₁，……，x_n)か－f(x₁，……，x_n)となるもので，対称式でないものを交代式という。

n個の変数x₁、x₂、…、x_nの多項式において、任意の二つの変数を交換すると、もとの式の符号だけを変えた式が得られるとき、その式はx₁、x₂、…、x_nに関する交代式であるという。たとえば、二つの変数x、yの多項式
　　f(x, y)＝x³－x²y＋xy²－y³
のxとyを入れ換えて新しい多項式をつくる。

　　f(y, x)＝y³－y²x＋yx²－x³
この多項式はもとの多項式f(x, y)に－1を掛けたものになる。つまり
　　f(y, x)＝－f(x, y)
　このような多項式の性質を、変数を増やして考えたものが交代式である。つまり、n個の変数x₁、x₂、…、x_nの多項式f(x₁, x₂,…, x_n)で異なるiとjに対し、x_iとx_jを入れ換えると、もとの多項式f(x₁, x₂,…, x_i,…, x_j,…, x_n)からf(x₁, x₂,…, x_j,…, x_i,…, x_n)ができる。この二つの多項式を比べたとき、
　　（＊）　f(x₁,…, x_i,…, x_j,…, x_n)＝－f(x₁,…, x_j,…, x_i,…, x_n)
が任意の相異なるiとjに対して成り立つとき、この多項式fを交代式という。（＊）のかわりに
　　f(x₁,…, x_i,…, x_j,…, x_n)＝f(x₁,…, x_j,…, x_i,…, x_n)
が成り立つのが対称式である。

　二つの交代式の和、差はまた交代式であるが、積は対称式になる。また、対称式と交代式の積は交代式である。n変数の交代式でいちばん簡単で重要なものは

である。このΔnは1≦i＜j≦nなるすべてのi、jに対し、差(x_i－x_j)をつくり、その積をとったものであるから、差積といわれる。たとえば
　　Δ₂＝x₁－x₂,
　　Δ₃＝(x₁－x₂)(x₁－x₃)(x₂－x₃)
である。（＊）式でx_i＝x_jと置いてみると
　　f(x₁,…, x_i,…, x_i,…, x_n)＝－f(x₁,…, x_i,…, x_i,…, x_n)
となり、f(x₁,…, x_i,…, x_i,…, x_n)＝0を得るから、交代式f(x₁,……, x_n)はx_iの一変数多項式として解x_jをもち、(x_i－x_j)で割り切れる。したがって任意の差(x_i－x_j)(i＜j)で割り切れるから、それらの積である差積Δnで割り切れる。

　　f(x₁,……, x_n)＝Δn・s(x₁,……, x_n)
なる多項式s(x₁,……, x_n)を考えると、fとΔnは交代式であるから、sは対称式になる。ここで対称式の基本定理を使うと、sは基本対称式s₁、s₂、……、s_nの多項式になる。ここで

である。ゆえに任意の交代式は、基本対称式の多項式と差積の積になる。この結果は交代式の因数分解などに使われる。たとえば
　x³－x²y＋xy²－y³
は交代式であるからΔ₂＝x－yで割り切れる。実際割り算を行って、商x²＋y²を得るから
　x³－x²y＋xy²－y³
　 ＝Δ₂(x²＋y²)＝Δ₂(s₁²－2s₂)
となる。

［菅野恒雄］