●体【たい】

数学用語。最も常識的には，加減乗除の四則 (0で割る除法を除く) が自由にできるような元の集合のこと。環においては，加法，減法，乗法の3演算が可能であったが，この環がさらに0以外による除法をも成立させる集合であれば，これを体という。体は，群の概念を用いて，次のように定義することもできる。乗法に関して交換法則の成り立つ環 (可換環 ) K から零元0を除いた集合 K－{0} が，乗法について群をなすとき，この K を体という。たとえば，有理数，実数，複素数の集合は，体である。四元数の集合のように，乗法の交換法則が成り立たない場合，すなわち K が可換環でないとき，この K を非可換体 non-commutative fieldあるいは斜体，歪体 sfieldということがある。体という用語に交換法則を仮定せず，本項で定義した体を特に可換体 commutative fieldということもある。

１
㋐動物の頭・胴・手足などのすべてをまとめていう語。五体。しんたい。「―を横たえる」
㋑頭・手足を除いた、胴。「―を反らす」「―の線が崩れる」
㋒体格。骨格。からだつき。「がっしりした―」
２ 健康状態。また、体力。「―を悪くする」「お―に気をつけて」「―の弱い子供」
３
㋐生理的存在としての身体。肉体。「―で覚える」「―が糖分を欲求している」「―を使う仕事」
㋑性的な対象としてみた身体。肉体。「―を許す」「―の関係がある」
㋒社会的活動を営む主体としてみた身体。身(み)。「今夜は―が明いている」「―がいくつあっても足りない」
４ 死体。なきがら。
「―はどこに捨ててある」〈浄・布引滝〉

［名］
１ からだ。身体。「体を預けて寄り切る」
２ そのものとしてのかたち。すがた。「論文としての体を整える」
３ 物事の本質をなすもの。「名は体を表す」
４ 生け花で、天または地の役枝(やくえだ)のこと。
５ 四則算法の可能な集合。有理数全体・実数全体・複素数全体など。しかし自然数全体・整数全体などは体ではない。
［接尾］助数詞。神仏の像や死体などを数えるのに用いる。「仏像一体」

［音］タイ（呉）　テイ（漢）　［訓］からだ
［学習漢字］2年
〈タイ〉
１ 四肢・骨格などで組み立てられたものとしてのからだ。「体育・体温・体格・体質・体重・体操・体力／巨体・五体・死体・上体・身体・人体・聖体・胴体・肉体・女体・病体・裸体・老体」
２ 各部分を組み立てたまとまりのある形や組織。「体系・体制／詩体・字体・政体・全体・団体・文体」
３ 一定の形や働きをもつ存在。「体積／液体・機体・客体・球体・実体・主体・船体・天体・媒体・物体・本体」
４ 身につける。「体験・体得」
５ 「体言」の略。「連体詞」
〈テイ〉見かけのようす。「体裁／憎体(にくてい)・人体(にんてい)・風体・面体」
[補説]「躰」は「體」の俗字。
［名のり］なり・み・みる・もと
［難読］為体(ていたらく)

［名］
１ 外から見た物事のありさま。ようす。「満足の―」「そしらぬ―」
２ 見せかけ。体裁。「―のいい返事」
［接尾］名詞・人代名詞などに付いて、そのようなもの、そのようなようすなどの意を表す。「職人―の男」
「己等(おのら)―に討たるるならば手柄次第に討て見よ」〈浄・佐々木大鑑〉

⇒たい

生物の個体を，一定の構造と機能の統合された完結性と独立性をもつ物体としてみるとき，それを〈体〉という。しかし，体には広狭2種の意味合いがある。広義では生物体とほぼ同義であり，狭義ではヒトを中心とする高等動物の身体をさす。広義で，生物体としての体は，単細胞と多細胞，植物と動物とをとわず，すべての生物個体の物質的実体である。しかし，各種生物の生活環の各段階における個体性，つまり個体のあり方に応じて，体の概念はさまざまである。

有理数全体，実数全体，複素数全体のように四則演算が(0で割ることを除外して)できる体系を体という。このような体系が意識されるようになったのは，方程式の代数的解法の研究に伴って，一つの代数方程式の根の全体，または一部についての整式で表される数の体系が扱われるようになったことによる(ガロアの理論)。やがてJ.W.R.デデキントが体の概念を定義し，ガロア群を根の置換としてでなく，体の自己同型として考察した。

可換環Kの零元以外の元全体が乗法で群になるとき、Kを体という。体においては、足し算、引き算、掛け算、割り算の四則演算ができる。有理数全体Q、実数全体R、複素数全体Cは、普通の数の四則で体になる。それぞれ有理数体、実数体、複素数体という。体は、零元と異なる単位元をもち、零因子のない可換環、つまり整域である。整数全体Zは整域であるが体でないように、整域は体と異なるが、整数環Zから分数をつくって有理数体Qを構成するように、任意の整域Aから、Aの商体といわれる体
　　K=｛a/b|a,b∈A,b≠0｝
がつくれる。たとえば、体k係数の多項式全体の整域k［X］の商体は、k上の有理関数体
　　k(X)=｛f(X)/g(X)|f(X),
　　g(X)∈k［X］,g(X)0｝
である。

　単位元をもつ可換環Aのイデアルɑによる剰余環A/ɑ=｛a+ɑ|a∈A｝に対して、
　　A/ɑ:体
　　　⇔ɑ:Aの極大イデアル
が成り立つ。この性質を用いて体をつくることができる。たとえば、ある素数pで割り切れる整数全体Z・pは整数環Zの極大イデアルであるから、剰余環Z/Z・pは体になる。この体Z/Z・pはp個の元
　　0+Z・p,1+Z・p,
　　……,(p-1)+Z・p
からなっている。このように有限個の元からなる体を有限体といい、Q、R、Cのように無限個の元をもつ体を無限体という。

　体Kから体K′の上への一対一写像ρが
　　ρ(a+b)=ρ(a)+ρ(b),
　　ρ(ab)=ρ(a)ρ(b) (ab∈K)
を満たすとき、ρをKからK′の上への同形写像という。このとき、ρの逆写像ρ^-1もK′からKの上への同形写像となり、二つの体K、K′は、体として同じ性質をもつ。このゆえに、KからK′の上への同形写像があるとき、体Kと体K′は同形であるという。

　いまω=（-1+）/2をとり、Q係数の多項式f(X)にωを代入して得られる複素数f(ω)全体の集合をQ(ω)とする。この集合Q(ω)は、数の加法と乗法で整域になっていることはすぐわかるが、実は体である。実際、ωが多項式p(X)=X²+X+1の根であることに注意すると、多項式f(X)に対し、f(ω)≠0なら
　　a(X)f(X)+b(X)p(X)=1
を満たすa(X),b(X)∈Q［X］があるが、この式にX=ωを代入してf(ω)^-1=a(ω)∈Q(ω)が示されるからである。さらに、体Q(ω)は、多項式環Q［X］の、p(X)で割り切れる多項式全体のつくる極大イデアルɑによるQ［X］/ɑに同形であり、Q(ω)の元は、a+bω(a,b∈Q)の形に一意的に書けることが知られている。前のωのように、零多項式でない有理数係数の多項式の根になっている複素数αを、一般に代数的数というが、このようなαに対し
　　Q(α)=
　　｛f(α)∈C|f(X)∈Q［X］｝
は、Q(ω)と同じようなQを含み、Cに含まれる体になる。このような体を代数数体という。

　体kが体Kに含まれ、kの任意の元a、bの四則演算が、a、bをKの元とみなした四則演算に一致するとき、体kを体Kの部分体という。QはRの、RはCの部分体であり、前述のQ(α)はCの部分体である。体Kには、ただ一つの最小の部分体Fがある。Fは有理数体Qか、またはZ/Z・p（pはある素数）のいずれかに同形である。それぞれの場合に従って、Kの標数は0であり、またはpであるという。Q,R,C,Q(α)のような数の体の標数は0であり、(Z/Z_p)(X)の標数はpである。標数pの体では、
　　p・a=0,
　　(a+b)^p=a^p+b^p (a,b∈K)
が成り立ち、標数0の体とだいぶようすが違う。

　体はデーデキントらによって、多項式の根を代数的に求める問題などに関連して考え出されたが、今日の代数学の重要な基本概念の一つになっている。

［菅野恒雄］