●垂直【すいちょく】

(1) 2直線 l，g が交わってつくる角が直角であるとき，一方は他方に垂直，あるいはこの2直線は互いに垂直であるといい，l⊥g と書く。このとき l と g とは互いに他の垂線であるといい，その交点を垂線の足と呼ぶ。 (2) 直線 l が平面 α 上の1点を通り，またその点を通る α 上のすべての直線と垂直なとき，l と α は互いに垂直であるといい，このような直線 l を平面 α の垂線という。これを l⊥α で表わす。2直線 a，b の定める平面を α とするとき，a⊥l ，b⊥l ならば，l⊥α である。 (3) 2平面 α，β が直線 l で交わり，l 上の1点Pにおいて，α 上に l と垂直な直線 a を，β上に l と垂直な直線 b を引いたとき，a⊥b ならば，αとβは互いに垂直であるといい，α⊥β と書く。3平面α，β，γについて，α⊥β ，α⊥γ のとき，β，γが交わり，その交線を l とすれば，l⊥α である。

［名・形動］
１ まっすぐに垂れ下がること。また、そのさま。「垂直な線を引く」
２ 水平面・地平面に対して直角の方向を示すこと。また、そのさま。「がけが垂直に切り立つ」
３ 数学で、直線と直線、直線と平面、平面と平面とが直角に交わること。

l,mを空間内の異なる2直線とする。lとmが交われば，これら2直線は一平面上にあって，交点Qを頂点とする四つの角ができ，その一つが直角ならば他の角もすべて直角となる。このときlとmは垂直である，または直交するという(図1)。lとmが交わらない場合も，1点を通ってそれらに平行にひいた2直線が直交するならば，lとmは垂直であるという(図2)。lとmが垂直であることをl⊥mで表す。一直線lと一平面αが1点で交わり，交点Qを通るα上の二つの直線がlと直交すれば，α上のすべての直線はlと垂直となる。

同一平面上の2直線が交わってできる角が直角であるとき、2直線は垂直であるという。点Aを通って直線lに垂直な直線がlと交わる点をHとするとき、線分AHをAからlへ下ろした垂線といい、Hを垂線の足、線分AHの長さを垂線の長さという。このAHは、Aからlに至る線のなかで長さのもっとも短いものである。

　空間での垂直を次のように定義する。

〔1〕2直線の垂直　2直線l、l′に対し、点Oを通ってそれぞれに平行に引いた2直線が垂直であるとき、lとl′は垂直であるといい、l⊥l′と書く。点Aとこれを通らない直線lがあるとき、Aを通ってlに垂直に交わる直線を引き、その交点をHとするとき、AHをAからlに下ろした垂線という。

〔2〕直線と平面の垂直　直線hが平面α上のすべての直線に垂直のとき、hはαに垂直であるといい、h⊥αと書く。直線hが、平面α上にあって平行でない2直線に垂直のとき、hはαに垂直である。平面α上にない点Aを通ってαに垂直な直線がαと交わる点をHとするとき、線分AHをAからαへ下ろした垂線といい、Hを垂線の足という。垂線AHは、Aからα上の点に至る線のなかで、長さのもっとも短いものである。

〔3〕2平面の垂直　2平面α、βのつくる角が直角のとき、αとβは垂直であるといい、α⊥βと書く。これは、α、βの交線上の点を通って、各平面上で交線に引いた垂線が垂直になっている場合である。直線hが平面αに垂直のとき、hを含む平面はαに垂直である。

［栗田　稔］