●完全数【かんぜんすう】

ギリシアのニコマコスの頃から考えられ，ユークリッドによって名づけられた数である。完全数というのは，6＝3＋2＋1，28＝14＋7＋4＋2＋1 などのように，その数の約数 (自分自身は除く) の総和が自分自身に等しくなる数のことで，一般的にいえば，自然数 c の，c 自身を除く約数の総和が c に等しくなる数である。 28の次の完全数は 496。またスイスに生れたアメリカの数学者 F.カジョリはそれに続けて，8128，33550336，8589869056，137438691328，2305843008139952128の5数をあげた。ユークリッドは『原本』に，もし 2^p－1 が素数ならば，2^p-1(2^p－1) は完全数である，と記述している。逆に偶数の完全数はこの形に限ることを，L.オイラーが証明した。

nを自然数とし、n以外の約数の和がnになる時、nを完全数という。6の約数は自分自身を除くと1、2、3で、6=1+2+3となるから6は最小の完全数。その次に小さい完全数は28。奇数の完全数は1つも知られていない。m、nを2つの自然数とする時、mのm以外の約数の和がnになり、nのn以外の約数の和がmになるとき、mとnを友愛数という。220と284は友愛数。小川洋子著『博士の愛した数式』でこれらの数が用いられた。小泉尭史監督による映画化も話題になった。
(桂利行 東京大学大学院教授 ／ 2007年)

自然数aで、a以外の約数（1を含む）の和がaに等しいとき、aを完全数という。例えば、6の約数は、「1」「2」「3」の三つで、その合計が1＋2＋3＝6 であるから、6は完全数。そのほかに、28、496、8128、33550336、8589869056などが見つかっている。→過剰数 →不足数 →友愛数
[補説]完全数は、連続した自然数の和で表すことができる。
6＝1＋2＋3
28＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7
496＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＋30＋31

自然数nで自分より小さい正の約数の和がnに等しいとき，nを完全数という。例えば，28の約数は28,14,7,4,2,1で28を除いた約数の和(14＋7＋4＋2＋1)は28となるから28は完全数である。古代ギリシアのピタゴラス学派が完全数と命名し，ユークリッドの《ストイケイア》にも登場している。《ストイケイア》ではp＝2^k－1が素数であればn＝2^k－1(2^k－1)は完全数であることが証明されており，逆に偶数の完全数はすべてこの形に表されることはオイラーが示した。

自然数nの約数の和S(n)が2nとなるとき、nは完全数であるといわれる。たとえば、6や28は完全数である。なぜなら
　　2・6＝1＋2＋3＋6
　　2・28＝1＋2＋4＋7＋14＋28
だからである。S(n)が2nより大きいときは過剰数、S(n)がnより小さいときは不足数とよばれる。

　ユークリッドの『ストイケイア』第9巻の命題36に次のように完全数の記述がある。「もし単位から始まり順次に1対2の比をなす任意個の数が定められ、それらの総和が素数になるようにされ、そして全体が最後の数に掛けられてある数をつくるならば、その積は完全数であろう」。つまり、
　　1＋2＋2²＋……＋2^n-1＝2ⁿ－1
が素数ならばN＝2^n-1(2ⁿ－1)は完全数である。逆に、ある偶数Nが完全数ならば
　　N＝2^n-1(2ⁿ－1)
の形で、2ⁿ－1は素数であるが、これはオイラーによって証明された。

　奇数の完全数はみつかっていない。また、偶数の完全数が無数にあるかどうか、つまり2ⁿ－1の形の素数が無数にあるかどうかは現在でも知られていない。

［足立恒雄］