●対称【たいしょう】

幾何学的図形や物体の形が，一つの軸のまわりにある角度だけ回転したときに，もとの図形に一致することを回転対称，また一つの直線に関して折重ねたときに一致することを線対称 (左右対称はその一例) などという。数学的関数が変数の入替えや符号の変更を行なったときに不変ならば，その変換について対称であるという。形の対称性は美術や建築における重要な要素として用いられ，また自然科学分野においては分類や法則性の把握に利用されてきた。関数の対称性は数学はもとより，物理学などにおいても基本的重要さをもって取扱われてきた。結晶や分子の構造，粒子系のハミルトニアンや波動関数の対称性など多くの例があげられる。対称性を取扱う数学的手段としては群論が有効である。

１ ものとものとが互いに対応しながらつりあいを保っていること。「左右対称」
２ 二つの図形が、点・線・面などについて互いに向き合う位置関係にあること。それぞれ点対称・線対称・面対称とよぶ。シンメトリー。
３ 結晶面の間の規則正しい関係の一。結晶面のある面による鏡像、またはそれをある軸のまわりに回転させたものが、他の結晶面に一致する性質。
４ ⇒二人称

平面上または空間内に定点Oがあるとき，平面上または空間内の各点Pに対し，線分POの延長上にPO＝OP′となる点P′をとって，PをP′にうつす対応を考える。この対応をOを対称の中心とする対称変換と呼び，対応する2点P,P′をOに関する対称点と呼ぶ。また，この変換で図形Fが図形F′にうつるとき，FとF′はOに関して点対称であると呼び，とくにF＝F′のときFをOに関して点対称な図形という(図a)。例えば，円や球はそれらの中心に関して，平行四辺形や平行六面体は対角線の交点に関して点対称な図形である。

一定点に関して2点の中点がその定点であるとき、その2点を定点に関して互いに点対称であるという。一定直線に関して2点の垂直二等分線がその定直線と一致するとき、その2点は定直線に関して互いに線対称であるという。また、一定平面に関して2点の垂直二等分面がその定平面と一致するとき、その2点は定平面に関して互いに面対称であるという（図A）。それぞれの場合、2点の一方を他の対称点という。［柴田敏男］

平面図形の対称

一つの平面図形を一定点の周りにα度回転してできる図形を、初めの図形にα度回転対称な図形といい、その定点を回転対称の中心という（図B）。180度回転対称な二つの図形はその中心に関して点対称であるという。一つの図形の一定直線に関する対称点をとってできる図形を、初めの図形に線対称な図形といい、その定直線を線対称の軸という。線対称な二つの図形の対応する2点の垂直二等分線は、線対称の軸と一致する。回転対称では図形の向き（対応点を順次回る向き）は変わらないが、線対称では図形の向きが逆になる。回転対称や線対称になるようにする操作を回転対称移動、線対称移動という。平面でこれらの移動を考えると、回転対称ではその中心は動かない。線対称ではその軸上の点はすべて不動である。平面で図形の大きさを変えない移動はすべていくつかの線対称移動の繰り返しで求められる。たとえば平行移動は、二つの平行線を軸とする線対称移動の繰り返しであり、回転対称移動は、その中心を通る二つの直線を軸とする線対称移動の繰り返しである。
　一つの平面図形がα度回転によって自分自身に重なるとき、その図形をα度回転対称な図形といい、回転の中心をその図形の回転対称の中心という。図Bにあるような寺院の記号は90度回転対称な図形である。一つの図形が線対称移動により自分自身に重なるとき、その図形を線対称な図形といい、線対称の軸をその図形の対称軸という。二等辺三角形は、底辺の垂直二等分線を軸とする線対称な図形である。正多角形は回転対称かつ線対称な図形である。［柴田敏男］

立体図形の対称

一つの立体図形を一定直線の周りにα度回転してできる図形を初めの図形にα度回転対称な図形といい、その定直線を回転対称の軸という（図C）。一つの図形の一定平面に関する対称点をとってできる図形を、初めの図形に面対称な図形といい、その定平面を対称面あるいは鏡映面という。面対称な二つの図形の対応する2点の垂直二等分面は対称面と一致する。空間においても回転対称や面対称の移動を考えることができる。また、一つの図形の一定点に関する対称点をとってできる図形を、初めの図形に点対称な図形といい、その中心を点対称の中心というが、これは、初めの図形に三つの面対称移動を繰り返し施した結果になっている。［柴田敏男］

図形にある操作をほどこしたときに，操作の前後で図形が完全に互いに重なる場合にこの操作を対称操作とよび，この図形は対称であるという．二つの対称操作を引き続いて行ったものは，やはりある対称操作であって，対称操作の集合は群をつくり，それを対称群とよぶ．結晶や分子の形に関しては単位操作(何もしないこと)，回転，回反(反転・鏡映を含む)，並進ならびにそれらを組み合わせたものが対称操作となりうる．ある対称操作を定義するために記載上必要な点，軸，面またはその集合を対称要素または対称の要素という．対称要素には，独立した分子の場合には，対称心，回転軸，回反軸または回映軸，および対称面があり，結晶の場合には，このほからせん軸，映進面，空間格子がある．なお，より一般的には，任意個の独立変数 x_i の関数f(x_i)が定義されていて，x_i の全部または一部にある変換や交換をほどこしたときに，関数値が変換・交換前と比較して同一の値または同一の主値をとる場合に，f(x_i)はこの関数の変換や交換に関して対称であるといい，変換などによって符号のみが変わる場合を反対称であるという．物体の場合でも，双極子や波動関数の分布については，反対称の対称要素や変換を考えることができる．誘電性，圧電性などの物性の記述には対称の概念が不可欠である．