●平行【ヘイコウ】

［名・形動］(スル)
１ 一平面上の二直線、または直線と平面、あるいは平面と平面とが、どこまで延長しても交わらないこと。また、そのさま。「平行な二直線を引く」「二本の線を平行させる」
２ 「並行(へいこう)2」に同じ。

同一平面上にあって相交わらない二つの直線を平行な直線，または平行線という。この定義によれば一致する2直線は平行でないが，直線は自分自身と平行であるとするほうがつごうのよいこともある。二つの線分や半直線は，それらが平行線上にあるとき，平行であると呼ばれる。交わっていない一つの直線と一つの平面，または交わっていない二つの平面は平行であると呼ばれる。平面上にある直線はこの平面を平行であるとみなしたり，平面は自分自身と平行であるとみなしたりすることもある。

平面上の二つの直線が平行であるとは，これらの 2直線をどのように延長しても決して交わらないことである。ユークリッド幾何学においては，平面上の 2直線が平行であるとき，これらの直線と交わるような直線に対して，同位角と錯角が等しくなる。前4～前3世紀に書かれたユークリッドの『原本』においては，点や直線が満たす性質をいくつかの公理としてまとめ，ユークリッド幾何学のさまざまな定理を公理から論理的に導いた。公理の一つに，平行線の公理（第5公準）があり，それは「二つの直線にある別の直線が交わり，同じ側にある二つの内角の和が 2直角（180°）よりも小さいならば，初めに与えられた二つの直線をかぎりなく延長するとき，2直角よりも小さい内角の側で必ず交わりをもつ」と述べられる。その後，平行線の公理をほかの公理から証明する試みがなされたが，いずれも成功しなかった。19世紀半ばにニコライ・ロバチェフスキーとヤーノシュ・ボーヤイによって，平行線の公理を満たさないが『原本』のほかの公理を満たす幾何学の体系が存在することが発見され，これは非ユークリッド幾何学と呼ばれる。

同一の平面上にあって交わらない2直線を平行であるという。2直線が平行のとき、これに別の直線が交わってできる同位角は等しい（図(1)）。逆に平面上で、2直線が別の直線と交わってできる同位角が等しければ、この2直線は平行である。また、平行2直線に垂直に交わる任意の直線上で、2直線の間にできる線分の長さは一定で、これを平行2直線の距離という（図(2)）。3直線l、m、nについてはlとm、mとnがそれぞれ平行であれば、lとnも平行である。次に、Oを端とする半直線OAと、O′を端とする半直線O′A′とがあって、直線OAと直線O′A′が平行とする。このとき、直線OO′についてA、A′が同じ側にあれば半直線OA、O′A′は同じ向きに平行であるといい（図(3)）、直線OO′についてA、A′が反対の側にあれば半直線OA、O′A′は逆向きに平行であるという（図(4)）。

　空間で二つの平面が平行であるという場合は、共通点のないことをいう。二つの平面α、βが別の平面と交わってできる2直線をa、bとすると、aとbは平行である（図(5)）。平行な2平面に垂直な任意の直線上で、2平面の間にできる線分の長さは一定で、これを2平面の距離という。三つの平面α、β、γについて、αとβ、βとγがそれぞれ平行のとき、αとγも平行である。また、直線と平面が平行であるという場合は共通点のないことをいう（図(6)）。

　2直線については、重なる場合も含めて平行ということもある。平行移動やベクトルを扱う場合はそうである。また、空間で2平面が重なる場合も平行に含めることがあるし、直線が平面に含まれるときも平行のなかへ入れることもある。

　平面上の2直線
　　y=mx+k, y=m′x+k′
が広義で平行になるための条件はm=m′であり、空間の2平面
　　z=ax+by+c, z=a′x+b′y+c′
が広義で平行になるための条件はa=a′,b=b′である。

［栗田　稔］