●指数法則【しすうほうそく】

(1) 自然現象に対して成り立つ法則で，空間座標や時間などの関数として与えられた量が次第に減少していくとき，その様子が独立変数 x の指数関数 exp (－αx) で表わされるものをいう。ここで，αは減少の割合 (速さ) を表わす定数で，αまたはその定数倍を減衰定数という。代表的な例として，放射性原子核の崩壊法則がある。時刻0における放射性原子核の数を N₀ とすると，任意の時刻 t における数は N(t)＝N₀ exp (－λt) となり，時間 t の指数関数で表わされる。このときの減衰定数 λ を崩壊定数といい，1/λ を平均寿命という。そのほか，冷却の法則や光の物質層による吸収など，指数法則の例は多い。 (2) 一般に，a＞0 ，b＞0 であって m ，n が任意の実数であるとき，指数について次の法則が成り立つ。これらを指数法則という。

a、bが正の実数、m、nが実数のとき成り立つ次の三つの法則。a^maⁿ＝a^m＋n, （a^m）ⁿ＝a^mn, （ab）^m＝a^mb^m

a,bを任意の数(実数または複素数)とし，m,nを正の整数とすると，ただし，(4)，(5)においてはa≠0とする。　上の(1)～(5)を(指数が正の整数の場合の)指数法則という。　正の数aに対してa^xの定義を，指数xが任意の実数の場合まで拡張する。そのとき，拡張した範囲でも指数法則が成り立つように定義しなければならない。　任意のa＞0と正の整数nに対してbⁿ＝aとなる正の数bはただ一つ定まる。このbをaの正のn乗根といいと書く。