●指数関数【しすうかんすう】
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典
指数関数
しすうかんすう
exponential function


ez=ex+iy=ex・eiy=ex( cos y+i sin y)
が成り立つ。指数関数 y=ex のグラフを指数曲線という。
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デジタル大辞泉
しすう‐かんすう〔‐クワンスウ〕【指数関数】
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世界大百科事典 第2版
しすうかんすう【指数関数 exponential function】


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日本大百科全書(ニッポニカ)
指数関数
しすうかんすう
exponential function
a>0, a≠1として、y=axで表される関数で、aを指数関数の底(てい)という。xが1, 2, 3のような自然数のとき、axはaの累乗、すなわちaをx回掛け合わせたものである。
a1=a, a2=a×a,
a3=a×a×a,……
x=0については、a0=1と定める。たとえば30=1である。xが負の整数のときは、ax=1/a-xと定める。たとえば、
10-1=1/10=0.1,
5-2=1/52=0.04
となる。以上、整数値xについて定められたaxに対して、次の指数法則が成り立つ。
(1)ax・ay=ax+y
たとえばa5×a4=a9
(2)(ax)y=axy
たとえば(23)2=26=64
(3)(ab)x=axbx
たとえば63=(3×2)3
=33×23
xが有理数のとき、x=n/m(nは整数、mは正の整数)として、axはanのm乗根
と定める。この拡張された指数についても、指数法則はそのまま当てはまる。たとえば、
82/3=(23)2/3=23×2/3=22=4
xが実数のときaxを定義するには、次のような考察をする。いまa>1としておく。このとき、有理数x,x′(x<x′)について、ax<ax′である。そして、
であるから、実数xに対して、r1, r2,……をxに収束する有理数の列とすれば、
が存在して、この極限値はxのみによって定まり、xに収束する有理数列のとり方にはよらないことがわかる。この値をaxと定める。このようにしてすべての実数xについてaxが定められ、これについても指数法則は成立する。0<a<1のときはax=(1/a)-xと定めればよい。y=axのグラフでは、a>1のとき、axは増加関数で、x=0のときy=1となる。そして、
0<a<1のとき、axは減少関数で、x=0のときy=1、そして、
指数関数の底としては、
である数eを用いることが多い。これは無限級数
の和としても得られる。
e=2.71828182845904523536……
これを用いると、
指数関数の微分、積分は次のようになる。
ここでlogaはaの自然対数である。
はxのすべての複素数値に対して収束する級数であるので、これによってexの、指数xを複素数に拡張したときの値を定義する。
と置けば、
eiθ=cosθ+isinθ
となる。これをオイラーの公式という。一般の
複素数α+iβについては、
eα+iβ=eα(cosβ+isinβ)
となる。
exはexpxと書くことも多い。指数関数の定義の仕方について述べておこう。解析教程の多くは、本文のように指数関数を定義したあとに、その逆関数として対数関数を定義して、それらの導関数や積分を調べていくことになっている。しかしながら、有理数の指数の定義(一般の正数についてm乗根の存在をあらかじめ証明しておかなければならない)から出発して実数の指数の定義にまで到達するのには、実数論特有の相当の手間がかかり、厳密な証明はやさしいものではない。一方、対数関数には、
の関係がある。そこで直観的にわかりやすく定積分の議論をある程度済ませたあとで、この積分で逆に対数関数を定義する。こうしても論理的整合性の失われる部分は少ないし、対数関数の満たす関数方程式を、積分の知識から形式的に証明できる。したがって、この形で対数関数を導入して、その逆関数として指数関数を教えるほうがよいという意見も多く、しばしばこの方法が試みられている。
[竹之内脩]
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精選版 日本国語大辞典
しすう‐かんすう ‥クヮンスウ【指数関数・指数函カン数】
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