●曲率【きょくりつ】

曲線および曲面について定義される。 (1) 曲線の曲率　曲線上の点Pが曲線に沿って動くとき，その進行方向は，移動した距離 (曲線の弧長) s に伴って変化する。このときの変化率を曲線の曲率という。いま平面曲線上の定点PからQまでの微小な移動距離を Δs ，その2点P，Qにおける2つの接線がつくる角 ( s の増加方向の) を Δθ とすれば，方向の変化率 κ は，Δs が0に近づくときの Δs/Δθ の極限で与えられる。これをこの曲線の点Pにおける曲率という。 κ の逆数 ρ＝1/κ を曲率半径という。これは接触円の半径になる。空間曲線についても同様である。 (2) 曲面の曲率　これには，法曲率，測地的曲率，全曲率 (ガウスの曲率) ，平均曲率がある。

曲線や曲面の曲がりの度合いを示す値。曲線上の近い二点のそれぞれの接線がつくる角と、二点間の弧の長さとの比の極限値で表す。曲率が大きいほど湾曲は大きく、また円では一定である。

曲線や曲面の曲がる度合を表す量をいう。まず，平面上の曲線の場合を考えよう。曲線Cを弧長sを用いて媒介変数表示し，弧長sの点をP(s)で表す。また，Cの各接線には曲線の正の向き(sが増すときにP(s)の動く向き)と同じ向きをつける。いま，sを固定して，P(s)における接線の向きからPの近くの点P(s＋⊿s)における接線の向きまでの回転角を⊿θ(ラジアン)とし，比⊿θ/⊿sを考える(図1)。⊿sを0に近づけたときのこの比の極限をPにおけるCの曲率という。

曲線の曲がっている度合いを表す数。曲線上の隣接3点を通る円の半径、すなわち曲率半径の逆数として定められる。直線は曲率ゼロであり、曲線は曲率が大きいほど曲がり方が大きい。

　平面上の曲線y=f(x)に対して、f(x)が2回微分可能であるとするとき、この曲線上の点P0(x0,y0)と曲線上の隣接する2点を通る円（曲線上にP₀と異なる点P₁、P₂をとり、P₀、P₁、P₂を通る円をつくって、P₁、P₂をP₀に近づけたときの極限の円）をP₀における曲率円という。その半径の逆数が曲率で、それは、

となる。この値はy″の正負によって正、または負となるが、曲率が正とはxが増加するとき曲線が左側（すなわち正の方向）に曲がっていくこと、負とは右側に曲がっていくことを意味する。

　曲率は、また、P₀とその近くの点Pとにおける接線のなす角をθ、P₀とPの間の曲線の弧の長さをΔsとして、

という式で与えることもできる。曲率は曲線の形状を特徴づける数である。空間曲線や、曲面の曲率も定義される。さらにリーマン幾何学においては空間の曲率も定義される。

［竹之内脩］