●楕円【だえん】

長円ともいう。2定点 F ，F' (楕円の焦点という) からの距離の和が一定な点P の軌跡。 F ，F' を通る直線を x 軸，線分 FF' を垂直に2等分する直線を y 軸にもつ直交座標系O- xy において，この楕円の方程式は，距離の和を 2a ，線分 FF'＝2c とおけば ( a＞c ) ，x²/a²＋y²/(a²－c²)＝1 となり，a＞c であるから，a²－c²＝b² ( a＞b ) とおけば，x²/a²＋y²/b²＝1 で与えられる。これを楕円の標準方程式という。円は F ，F' が一致した場合の楕円である。焦点 F ，F' の中点を楕円の中心という。標準方程式で表わされる楕円と x 軸との交点 A ，A' がつくる線分 AA' を長軸，y 軸との交点 B ，B' がつくる線分 BB' を短軸という。また，c/a＝e＜1 であり，この e を離心率という。焦点の座標は，F'(－ae，0) ，F(ae，0) である。また方程式 x＝a/e ，x＝－a/e で与えられる2直線を焦点 F ，F' に対する準線という。面積は πab である。媒介変数による方程式は x＝a cos θ ，y＝b sin θ で表わされる。

二つの定点からの距離の和が一定な点の軌跡。二定点を楕円の焦点という。長円。

平面上で，2定点F,F′からの距離の和が一定値であるような点によって描かれる図形を楕円，または長円といい，FとF′をその焦点という。1定値を2aとし，線分FF′の長さを2cとするとき，e＝c/a(＜1)を離心率という。線分FF′の中点を楕円の中心という。直線FF′と，楕円との交点をA,A′とし，中心Oにおいて直線FF′に立てた垂線と楕円との交点をB,B′とするとき，線分AA′は線分BB′より長い。線分AA′を長軸，線分BB′を短軸といい，これらを合わせて主軸という。

円錐(えんすい)曲線の一つ。長円ともいう。2定点F、F′からの距離の和が一定である点の軌跡が楕円であり、F、F′をその焦点という（図A）。F、F′を通る直線をx軸とし、線分FF′の垂直二等分線をy軸とする直交座標系をとれば、楕円は

の形の方程式で表される。F、F′が一致すれば円となるので、円は楕円の一種である。Oを楕円の中心、中心を通る弦を直径という。とくに図AのAA′、BB′をそれぞれ長軸、短軸、これらをあわせて主軸という。一方の焦点から出た光は楕円で反射してすべて他方の焦点に集まる、という性質をもつ。x²＋y²＝a²なる円を楕円（＊）の補助円という（図B）。

　　x＝acos, y＝bsin
なる点P(x, y)は楕円上にあり、x′＝acos, y′＝asinなる点Q(x′, y′)は補助円上にあるから、楕円は補助円をy軸方向にb：aの比で収縮したものである。x軸とQOによってつくられる角をPの離心角という。一つの直径g₁に平行な弦の中点の軌跡はまた一つの直径g₂となる。このときg₂に平行な弦の中点の軌跡はg₁で、g₁とg₂とは互いに共役な直径といわれる（図C）。

　楕円はまた、定直線と定点からの距離の比が1より小さい一定値である点の軌跡、ともいうことができる。図Dにそのような定直線と定点の組l、Fとl′、F′とを書いてある。l、l′を準線という。一定値eは楕円の離心率といわれ、

で与えられる。λを径数（パラメーター）とする二次曲線群

は、λ＜βならば楕円を、β＜λ＜αならば双曲線を表し、すべて同じ焦点〔＝(α－β), 0〕をもつ。このとき、平面上の原点以外の任意の点Pを通って、この二次曲線群の一つの楕円と一つの双曲線があり、それらはPで互いに直交する（図E）。このように焦点を共有する楕円、双曲線は共焦点であるという。

　楕円は円錐曲線の一つとして紀元前200年以上前にアポロニウスらによって学問的に研究された。それが2000年近くもたってから「惑星は太陽を一焦点とする楕円軌道を描く」というケプラーの法則によって実用上の意味をもつことになったのは興味深い。

［立花俊一］