●極限【キョクゲン】

デジタル大辞泉

きょく‐げん【極限】

１物事の限度ぎりぎりのところ。「体力の極限に達する」
２数列の項の番号を限りなく大きくするとき、または関数の変数の値をある値に近づけるか正・負の無限大にするときに、数列や関数値が限りなく近づく一定の値。極限値。

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世界大百科事典第２版

きょくげん【極限 limit】

数列

を考えると，この数列の第n項は，nが限りなく大きくなるにつれて0に限りなく近づく。一般に一つの無限数列｛a_n｜n＝1,2，……｝の第n項a_nが，nを限りなく大きくするときある一定の数Aに限りなく近づくとき，この数列は収束するといい，Aをこの数列の極限値と呼ぶ。記号で，

で表す。例えば数列

は収束し，極限値はそれぞれ0,1である。収束しない数列を発散数列と呼ぶ。それらのうち，(1)1,2,2²,2³，……，2ⁿのように，nが大きくなるに従って第n項a_nが限りなく大きくなるとき，この数列は正の無限大に発散するといい，

とかく。

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大辞林第三版

きょくげん【極限】

① 物事の一番の果て。かぎり。極。「－にまで迫る」

② 〘数〙〔limit〕数列あるいは変数が、ある値に限りなく近づくとき、その値のこと。極限値。

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日本大百科全書(ニッポニカ)

極限
きょくげん

数列a₁, a₂,……, a_n,……において、添数のnが限りなく大きくなるとき、a_nの値がある値Aに限りなく近づくならば、a_nはAに収束するといい、Aをこの数列の極限値limit valueといって、

と書く。また、nを大きくするとき、a_nが限りなく大きくなるならば、a_nは正の無限大に発散するといい、

と書く。nを大きくするとき、a_nが負でその絶対値が限りなく大きくなるならば、a_nは負の無限大に発散するといい、

と書く。a_nがある極限値に収束する場合、あるいは正または負の無限大に発散するとき、極限があるといい、そうでないとき、極限がないという。数列の極限はこのように、数列においてnが限りなく大きくなるとき、a_nがどのようになるかを考えるための概念的な用語である。［竹之内脩］

関数の極限

関数f(x)はx＝aの近くで定義されているとする（x＝aでは定義されていなくてもかまわない）。このときxが限りなくaに近づくときf(x)の値がどのようになっていくかが極限の問題である。
(1) f(x)はある定まった値bに限りなく近づく。このとき、f(x)はbに収束するといい、bを、xがaに近づいたときのf(x)の極限値といって、

と書く（図の(1)）。
(2) f(x)はいかなる値をも超えて大きくなっていく。このときf(x)は正の無限大に発散するといって、

と書く（図の(2)）。f(x)が負の値をとって、その絶対値が限りなく大きくなるとき、f(x)は負の無限大に発散するという。以上が極限のある場合である。次に極限のない場合を考える。
(3) f(x)は有界（関数の値が、ある数を超えず、また、ある数より小さくならないとき、その関数を有界であるという）であるが極限のない場合（図の(3)）。
(4) f(x)は有界でなく極限のない場合（図の(4)）。
　なお極限のない場合、aの片側だけをみると極限のある場合もある（図の(5)・(6)）。左側から近づいたときの極限値があるとき、これを左側極限値といい、