●比例【ひれい】

a と b を，2つの数，または2つの同種の量とする。 a と b の比 a：b と，2つの数または同種の量 c と d の比 c：d の間に a：b＝c：d という関係が成り立てば a ，b ，c ，d は比例または正比例するという。一般に，x と y を2つの変数とするとき，k を0でない定数として y＝kx という関係が成り立てば，y は x に比例するという。このとき関数 x→kx が正比例関数である。

［名］(スル)
１ 例をあげてくらべること。
「目高が湖に泳ぐような―で海が広いとは云え」〈葉山・海に生くる人々〉
２ 物の形において、各部分相互間または全体と部分との割合が釣り合っていること。
「眼の長さが顔の幅に―しないとか」〈漱石・それから〉
３ 二つのものが一定の関係をもつとき、一方の増減につれて他方も増減すること。「身長と体重は必ずしも―しない」
４ 二つの変数の間で、一方が2倍・3倍となるにつれて、他方も2倍・3倍となっていくこと。関係をy＝ax（aは0でない定数）と表す。正比例。
５ 二つの変数の比が他の二つの変数の比と等しいこと。a：b＝c：dで表す。

四つの数a,b,c,dについて，a：b＝c：dであるとき，a,b,c,dは比例をなしているといい，a：b＝c：dを比例式，または比例という。a,dを比例式の外項，b,cを内項と呼ぶ。また，三つの数a,b,cについて，a：b＝b：cであるとき，bはa,cの比例中項であるという。
all>［比例式の性質］
　四つの数a,b,c,dについて，(1)a：b＝c：dならば，ad＝bc。すなわち，比例式の外項の積は内項の積に等しい。

二つの正数xとyとの間に、y/x=aすなわちy=ax（aは定数）という関係があるとき、yはxに比例する、または正比例するといい、aを比例定数という。このときx=(1/a)yも成り立つから、yがxに比例すれば、xはyに比例する。そこで、これらをまとめて、yとxは比例するともいう。yがxに比例するとき、xの値x₁、x₂に対応するyの値をy₁、y₂とすれば、y₁:x₁＝y₂:x₂すなわちy₂:y₁＝x₂:x₁が成り立つ。したがって、xの値がk倍になれば、yの値もk倍になる（k＞0）。逆に任意の正数kについて、このことが成り立てば、yとxが比例することも容易に示される。

　二つの正数x、yの間に、xy=aすなわちy=a/x（aは定数）という関係があるとき、yはxに反比例する、または逆比例するといい、aを比例定数という。このときxがyに反比例することも明らかであるから、まとめて、yとxは反比例するともいう。yがxに反比例するとき、xの値x₁、x₂に対応するyの値をy₁、y₂とすればx₁y₁=x₂y₂すなわちy₂:y₁＝x₁:x₂が成り立つ。したがって、xの値がk倍になれば、yの値は1/k倍となる（k＞0）。逆に、任意の正数kについて、このことが成り立てば、yとxが反比例することも示される。

　比例、反比例関係の例はきわめて多い。たとえば、三角形において、底辺の長さを一定とすれば、高さと面積は比例し、面積を一定とすれば、高さと底辺の長さは反比例する。比例と反比例の関係は、ゼロでない数aを比例定数として、x、yがかならずしも正でない場合にも拡張できる。一般に、二つの数xとyとの間にy=ax^α（a、αはゼロでない定数）という関係があるとき、yはxのα乗に比例するという。比例と反比例はそれぞれα=1,α=-1である特別な場合である。また、α=2,α=1/2とすれば、yがxの平方に比例する、平方根に比例する場合になる。α=-2のときは、yはxの平方に反比例するともいう。yがxのα乗に比例するときは、xの値がk倍になれば、yの値はkα倍になる（k＞0）。たとえば、円の面積はその半径の平方に比例し、逆に、半径は面積の平方根に比例する。比例関係はまた三つ以上の変数についても考えられる。たとえば、三つの数x、y、zの間にz=axy（aはゼロでない定数）という関係があるとき、zはxとyに複比例する、または単に、比例するという。このとき、yを一定とすればzはxに比例する。たとえば、三角形の面積は、その高さと底辺の長さに比例する。

［植竹恒男］