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無理数【むりすう】

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

無理数
むりすう
irrational number
整数 p と 0でない整数 q を用いて, と表すことができる数を有理数といい,有理数でない実数を無理数という。小数では,無理数は循環(→循環小数)しない無限小数として表される。√2=1.41421356…,円周率π=3.14159265…,自然対数 e=2.7182818…などは無理数であることが知られている。実数は,有限小数または無限小数として表される数で,数直線上の点と一対一に対応するが,有理数から出発して,収束する有理数列の極限を付け加えることによって構成される。厳密な構成法としては,コーシー列(→コーシーの条件)を用いて完備化する方法,ユリウス・W.R.デデキントが導入した切断による方法などがある。有理数を係数とする代数方程式となる数を代数的数といい,そうでない実数を超越数と呼ぶ。超越数は無理数である。上の無理数の例のうち,√2は方程式 x2-2=0 の解の一つであるから代数的数である。円周率π,自然対数の底 e は超越数であることが知られている。

出典:ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典
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デジタル大辞泉

むり‐すう【無理数】
実数のうち、有理数でない数。二つの整数ので表すことができない数。⇔有理数

出典:小学館
監修:松村明
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編集協力:田中牧郎、曽根脩
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世界大百科事典 第2版

むりすう【無理数 irrational number】
分数n/m(m,nは整数でm≠0)の形で表せない実数,すなわち,有理数以外の実数を無理数という。例えば,は無理数である。自然数aが他の自然数のn乗で表せないときnは無理数であり,この形の無理数を不尽根数という。また,無理数の中には自然対数の底eや円周率πなどのように超越数と呼ばれるものもある。無理数は小数で表すと,循環しない無限小数で表されるが,逆に循環しない無限小数は無理数である。 実数αは整数mと0≦β<1であるような実数βの和として表される。

出典:株式会社平凡社
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大辞林 第三版

むりすう【無理数】
実数のうち有理数でない数。すなわち分数の形で表すことのできない数。 √2 や π (円周率)、自然対数の底 e など。 ⇔ 有理数

出典:三省堂
(C) Sanseido Co.,Ltd. 編者:松村明 編 発行者:株式会社 三省堂 ※ 書籍版『大辞林第三版』の図表・付録は収録させておりません。 ※ それぞれの用語は執筆時点での最新のもので、常に最新の内容であることを保証するものではありません。

日本大百科全書(ニッポニカ)

無理数
むりすう
irrational number
有理数でない実数を無理数という。
 aが自然数で、a=b2(bは自然数)というようになっていなければ、は無理数である。このことを、の場合について検証する。
 いまが有理数q/pであるとする。ここに、p、qは互いに素(つまり、公約数がない)、としておく。

したがってqは偶数である。そこでq=2q′とすれば、

 これからpも偶数であることになるが、これはpとqが互いに素であるとした仮定に反する。ゆえに、は有理数ではない。つまり無理数である。
 次に、自然対数の底eが無理数であることを示そう。

と表される。
 いま、eが有理数q/pであるとする。eは整数ではないから、p≧2である。そうすると、

 左辺p!eおよび右辺の大括弧(かっこ)付きの項は整数である。そして、p+1<p+2<……だから、右辺の第2項以降の無限級数は、

より小さく、整数とはならないから、これは矛盾である。ゆえに、eは有理数ではない。つまり、無理数である。
 一般に、ある数が有理数か無理数かを判定するのはなかなか困難である。たとえば、円周率πが無理数であることを証明するのはむずかしい。オイラーの定数γなどは、いまだに、有理数か無理数かがわかっていない。[竹之内脩]

出典:小学館 日本大百科全書(ニッポニカ)
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精選版 日本国語大辞典

むり‐すう【無理数】
〘名〙 実数のなかで分数の形で表わすことのできない数。⇔有理数
※零の発見(1939)〈吉田洋一〉二八「有理数を表さない無限小数の表すべき数を無理数といふ習慣になってゐる」

出典:精選版 日本国語大辞典
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