●無限小【むげんしょう】

ブリタニカ国際大百科事典小項目事典

無限小
むげんしょう
infinitesimal

数学において，ある変数が0に収束するとき，その変数は無限小になるといい，無限小になる変数を，単に無限小という。

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デジタル大辞泉

むげん‐しょう〔‐セウ〕【無限小】

１限りなく小さいこと。
２数学で、変数が限りなく零に近づくこと。また、その変数。⇔無限大。

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世界大百科事典第２版

むげんしょう【無限小】

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日本大百科全書(ニッポニカ)

無限小
むげんしょう
infinitesimal

関数f(x)について、x→a（またはx→a+0,x→a-0,x→∞など）のときf(x)→0となるならば、x→aのときf(x)は無限小であるという。

　二つの無限小f(x),g(x)に対して

ならばf(x)はg(x)より高位の無限小であるといい、これをf(x)=o(g(x))と書き表す。また、x=aの近傍でf(x)/g(x)が有界のとき、これをf(x)=O(g(x))と書き表す。記号o、Oはランダウの記号とよばれている。また、

が存在して0でないとき、f(x)の無限小の位数はnであるという。

であるから、x→0のとき、sin xは1位の無限小である。1-cos xは2位の無限小、log(1+x)は1位の無限小である。

　f(x)がx=aの近傍で定義され、そこでn回微分可能ならば、f(x)のテーラー展開は、

と書くことができる。そして、f(a)=0ならば、x→aのときf(x)は無限小であるが、このとき、f(a),f′(a),f″(a),……のうち、初めて0でないものf^(k)(a)について、f(x)はk位の無限小となる。