●群【ぐん】

群は，変換群を代数的構造として論じるため生まれた。それは次の諸条件を満たす集合 G のことである。 G は空でない集合で，G の任意の2元 x ，y (順序をつけて考える) に対して，これらの結合といわれる第3の元 z ∈ G を対応させる対応の規則 (これを G の上の演算という) が与えられている。 x と y の結合を xy と書き，これを x ，y の積という。すなわち z＝xy である。そして G 上の演算は，次の3条件を満たしている。 (1) G の任意の元 a ，b ，c に対して，a(bc)＝(ab)c が成り立つ (結合法則) 。 (2) G のすべての元 x に対して，ex＝x をみたす G の元 e がただ1つ存在する。 (3) G のおのおのの元 x に対して，xx'＝e となる G の元 x' がただ1つずつ存在する。元 e を G の単位元，元 x' を G の逆元という。 x' は普通 x^-1 と書く。 G の任意の元 x ，y について xy＝yx が成り立つとき，G をアーベル群または変換群という。この場合は xy の代りに加法の形 x＋y で書くことが多い。 x と y の結合が x＋y で表わされるときは，加群またはモジュールと呼び，単位元を0，逆元を －x と書く。群に含まれる元の個数を群の位数，位数が有限か無限かによって，有限群あるいは無限群という。群の例としては，次のようなものがある。 (1) 整数全体の集合は加法について群をつくる。 (2) 実数全体の集合は加法について群をつくる。 (3) 0でない実数全体の乗法について群をつくる。 (4) n 次元ベクトルの全体は，加法について群をつくる。 (5) 行列式の値が0でない n 次の正方行列全体の集合は乗法について群をつくる。 (6) 相異なる n 個の順列の間の置換全体の集合は乗法に関して群をつくる。素朴な群の概念は，対称図形の考案に関連して古代からあり，近年の精密な理論は高次方程式の根の置換の研究から起ったが，現今では最も基本的な代数的構造の一つとみなされ，数学のあらゆる分野に広く応用されている。

19世紀前半、ガロア(E.Galois)が発見した概念。足し算や掛け算の体系を公理化したもの。整数全体を考え、足し算を例にとると、(1)(a+b)+c=a+(b+c)(結合法則)が成り立ち、(2)零元0が存在し、(3)整数aに対して-aが存在する。この3つの性質を抽出して抽象化した代数系が群(ぐん)。群は対称性と関係があり、ルービックキューブの解法も群の理論によって構成できる。また、正多角形、正n面体は、群の存在と関係している。物理学では量子力学や素粒子論、化学では結晶構造や分子構造の解析にも、群の理論が応用されている。
(桂利行 東京大学大学院教授 ／ 2007年)

１ 群がること。集団。「群をなす」
２ 抽象代数学で、集合Gの元a, b, cの間に一つの演算方法＊が規定されていて、元がその演算方法に関して次の条件を満たすとき、Gを群という。
（1） a＊bはGに属する。
（2） （a＊b）＊c＝a＊（b＊c）が成り立つ。
（3） a＊e＝e＊a＝aとなる単位元eが存在する。
（4） a＊a^－1＝a^－1＊a＝eとなる逆元a^－1が存在する。

［音］グン（呉）　［訓］むれる　むれ　むら
［学習漢字］4年
〈グン〉
１ 多くのものが集まる。多くの。「群居・群衆・群集・群臣・群生・群像・群雄・群狼(ぐんろう)」
２ 同類の集まり。むれ。「一群・魚群・語群・大群・抜群」
〈むら〉「群雀(むらすずめ)・群千鳥」
[補説]「羣」は異体字。
［名のり］とも・もと

むらがっていること。また、そのもの。むれ。多く、他の名詞に付けて用いる。「―すずめ」「草―」

正の数全体の集合Pを考えてみると，これらは次の4条件を満たしている。(1)a,bがPの元であれば，その積a×bが定まって，a×bもPの元である。(2)結合法則，すなわち(a×b)×c＝a×(b×c)が成り立つ。(3)1×a＝a×1＝a(単位元1が存在する)。(4)a×a^－1＝a^－1×a＝1(逆元a^－1が存在する)。　一般に，数の乗法に限らず，ある集合Gに一つの演算(数の加法，写像の合成など)が定義されていて，それが上のような4条件を満たしているとき，Gは群であるという。

抽象代数学の概念の一つ。単に数の演算にとどまらず、写像の合成、置換の合成、行列の演算、回転変換の合成など、ある種の操作において閉じている体系が至る所でみいだされる。集合におけるある一つの演算にのみ注目して、他のすべての性質を捨象するとき、群の概念に到達する。最初、ガロアによって方程式の問題を解の間の置換のなす群の問題に転換することで導入された群の概念は、急速に発達して、現代代数学の基本概念となっている。［足立恒雄］

群の定義

Gを集合とし、Gには（いま注目している）一つの演算が与えられているとする。元a、bの間の演算の結果をa*bと表すことにする（簡単のため、abのように＊を略すこともある）。次の四つの性質が成り立つとき、Gは＊なる演算のもとで群をなすという。
(1)Gは演算＊で閉じている。すなわち、任意の2元a、bに対してa*b∈G
(2)Gの任意の2元a、bに対して
　　a*(b*c)＝(a*b)*c　　（結合法則）
(3)Gには単位元とよばれる特別な元eが存在して、Gの任意の元aに対して
　　e*a＝a*e＝a
(4)Gの任意の元aに対してaの逆元とよばれる元bが存在して
　　a*b＝b*a＝e
　(3)に述べた単位元はただ一つしか存在しないことが証明される。また逆元も各aに対してただ一つしか存在しない。そこでこれをa^-1と記す。とくに
　　a*b＝b*a　　（可換法則）
がGの任意の2元a、bに対して成り立つとき、Gは可換群またはアーベル群とよばれる。群Gの空でない部分集合HがGと同じ演算で群をなすとき、HはGの部分群であるといわれる。［足立恒雄］

群の例

(1)置換群　Mを数字1、2、……、nのなす集合とする。Mの置換とはMからMの上への写像のことである。あるいは1、2、……、nの順列と考えてもよい。Mの置換の全体をS_nと記す。S_nは写像の合成を積と考えるとき、群をなす。これをn文字の対称群という。S_nの部分群を置換群という。
(2)一次変換群　実数体や複素数体などの可換体をKとする。Kの元を成分とする正則なn次正方行列の全体は乗法で群をなす。これを体K上のn次の一般一次変換群といってGL(n, K)で表す。とくに行列式が1のものばかりの集合をSL(n, K)とすると、これはGL(n, K)の部分群をなす。SL(n, K)は特殊一次変換群といわれる。
(3)合同変換群　三次元のユークリッド空間をR³とする。R³からR³の上への1対1の写像であって、2点間の距離を変えないものを合同変換という。合同変換の全体は合同変換群とよばれる群をつくる。とくに、回転軸が定点Oを通るような二つの回転の積は、またOを通る直線を回転軸とする回転である。定点Oを動かさない回転の全体のなす群を、Oを中心とする回転群という。回転群は合同変換群の部分群である。
　さらに、定点Oを中心とする特定の正多面体を考え、それを合同な位置にもたらすような回転の全体は回転群の部分群をなす。これらを多面体群と総称する。正多面体が正四面体、正八面体、正二十面体であるに従って、それぞれ正四面体群、正八面体群、正二十面体群という。［足立恒雄］

商群

Nを群Gの部分群とする。Gの任意の元xに対して
　　xN＝Nx
を満たすとき、NはGの正規部分群であるといわれる。ただし
　　xN＝｛xy|y∈N｝,
　　Nx＝｛yx|y∈N｝
である。G/NでもってxN（xはGの元）の形の集合の集合を表すことにする。
　　G/N＝｛xN|x∈G｝
G/Nの2元xNとyNの間で
　　(xN)・(yN)＝xyN
と演算を定義する。Nが正規部分群であることによってG/Nはこの演算の定義により群をなす。G/NはGのNによる剰余類群とか商群とよばれる。
　たとえばZを整数のなす加法群とする。Mでもって一つの整数mの倍数全体のなすZの部分群とする。アーベル群においてはすべての部分群が正規である。したがってZのMによる剰余類群がつくられる。これはいわゆる法mでの剰余類の考え方である。［足立恒雄］

単純群

群GがG自身と単位元eだけからなる部分群｛e｝以外には正規部分群をもたないとき、単純であるといわれる。有限単純群の分類の研究は近時盛んに行われ、日本の学者も大いに貢献した。［足立恒雄］

生成系

Sを群Gの部分集合とする。Sを含むGの最小の部分群がG自身となるときSはGの生成系である、といわれる。G自身Gの生成系である。ただ一つの元からなる生成系をもつとき、群は巡回群であるといわれる。Zは1から生成される巡回群である。またωを1の虚数の3乗根とするとき、
　　G＝｛1,ω,ω²｝
は巡回群で、ωがGの生成元である。［足立恒雄］

数学では，お互いの関係が，下記のような四つの規則で定義される元の集合を群とよぶ．対称性をもつ結晶や，化合物の幾何学的構造に対する対称操作がこの規則に従うので，結晶や化合物の電子状態および振動状態を議論するのに広く使用されている．四つの規則を元である対称操作a，b，c，…について述べる．
(1)二つの対称操作を組み合わせると必ずこの集合のなかのどれかの対称操作と同じになる．これを次のように書く．

ab ＝ c．
(2)操作の順をかえなければ同じ結果になる．

(ab)c ＝ a(bc)(結合則)．
(3)何も行わない対称操作(恒等操作)eが集合のなかに必ず含まれる．

ae ＝ ea ＝ a．
(4)集合には対称操作の逆操作が必ず含まれる．それを a^－1 で表すと，

aa^－1 ＝ a^－1a ＝ e
である．

→岩石群