●群【ぐん】

群の定義

Gを集合とし、Gには（いま注目している）一つの演算が与えられているとする。元a、bの間の演算の結果をa*bと表すことにする（簡単のため、abのように＊を略すこともある）。次の四つの性質が成り立つとき、Gは＊なる演算のもとで群をなすという。

(1)Gは演算＊で閉じている。すなわち、任意の2元a、bに対してa*b∈G
(2)Gの任意の2元a、bに対して
　　a*(b*c)＝(a*b)*c　　（結合法則）
(3)Gには単位元とよばれる特別な元eが存在して、Gの任意の元aに対して
　　e*a＝a*e＝a
(4)Gの任意の元aに対してaの逆元とよばれる元bが存在して
　　a*b＝b*a＝e
　(3)に述べた単位元はただ一つしか存在しないことが証明される。また逆元も各aに対してただ一つしか存在しない。そこでこれをa^-1と記す。とくに
　　a*b＝b*a　　（可換法則）
がGの任意の2元a、bに対して成り立つとき、Gは可換群またはアーベル群とよばれる。群Gの空でない部分集合HがGと同じ演算で群をなすとき、HはGの部分群であるといわれる。

［足立恒雄］

群の例

(1)置換群　Mを数字1、2、……、nのなす集合とする。Mの置換とはMからMの上への写像のことである。あるいは1、2、……、nの順列と考えてもよい。Mの置換の全体をS_nと記す。S_nは写像の合成を積と考えるとき、群をなす。これをn文字の対称群という。S_nの部分群を置換群という。

(2)一次変換群　実数体や複素数体などの可換体をKとする。Kの元を成分とする正則なn次正方行列の全体は乗法で群をなす。これを体K上のn次の一般一次変換群といってGL(n, K)で表す。とくに行列式が1のものばかりの集合をSL(n, K)とすると、これはGL(n, K)の部分群をなす。SL(n, K)は特殊一次変換群といわれる。

(3)合同変換群　三次元のユークリッド空間をR³とする。R³からR³の上への1対1の写像であって、2点間の距離を変えないものを合同変換という。合同変換の全体は合同変換群とよばれる群をつくる。とくに、回転軸が定点Oを通るような二つの回転の積は、またOを通る直線を回転軸とする回転である。定点Oを動かさない回転の全体のなす群を、Oを中心とする回転群という。回転群は合同変換群の部分群である。

　さらに、定点Oを中心とする特定の正多面体を考え、それを合同な位置にもたらすような回転の全体は回転群の部分群をなす。これらを多面体群と総称する。正多面体が正四面体、正八面体、正二十面体であるに従って、それぞれ正四面体群、正八面体群、正二十面体群という。

［足立恒雄］

商群

Nを群Gの部分群とする。Gの任意の元xに対して
　　xN＝Nx
を満たすとき、NはGの正規部分群であるといわれる。ただし
　　xN＝｛xy|y∈N｝,
　　Nx＝｛yx|y∈N｝
である。G/NでもってxN（xはGの元）の形の集合の集合を表すことにする。

　　G/N＝｛xN|x∈G｝
G/Nの2元xNとyNの間で
　　(xN)・(yN)＝xyN
と演算を定義する。Nが正規部分群であることによってG/Nはこの演算の定義により群をなす。G/NはGのNによる剰余類群とか商群とよばれる。

　たとえばZを整数のなす加法群とする。Mでもって一つの整数mの倍数全体のなすZの部分群とする。アーベル群においてはすべての部分群が正規である。したがってZのMによる剰余類群がつくられる。これはいわゆる法mでの剰余類の考え方である。

［足立恒雄］

単純群

群GがG自身と単位元eだけからなる部分群｛e｝以外には正規部分群をもたないとき、単純であるといわれる。有限単純群の分類の研究は近時盛んに行われ、日本の学者も大いに貢献した。

［足立恒雄］

生成系

Sを群Gの部分集合とする。Sを含むGの最小の部分群がG自身となるときSはGの生成系である、といわれる。G自身Gの生成系である。ただ一つの元からなる生成系をもつとき、群は巡回群であるといわれる。Zは1から生成される巡回群である。またωを1の虚数の3乗根とするとき、
　　G＝｛1,ω,ω²｝
は巡回群で、ωがGの生成元である。

［足立恒雄］