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解析幾何学【かいせききかがく】

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

解析幾何学
かいせききかがく
analytic geometry
(1) 曲線立体のいろいろな性質を,解析的に,すなわち,簡潔な代数的記号を用い,座標系を導入して研究する分野座標幾何学ともいわれる。 (2) 近年,代数幾何学に対して,それと類似手法で解析的多様体幾何学的性質を研究するのを,解析幾何学と呼ぶ用例がふえてきた。

出典:ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典
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デジタル大辞泉

かいせき‐きかがく【解析幾何学】
図形の性質を、座標を導入することによって数式で記述し、代数的計算によって解析的に研究する幾何学

出典:小学館
監修:松村明
編集委員:池上秋彦、金田弘、杉崎一雄、鈴木丹士郎、中嶋尚、林巨樹、飛田良文
編集協力:田中牧郎、曽根脩
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世界大百科事典 第2版

かいせききかがく【解析幾何学 analytical geometry】
幾何学は平面および空間における図形の性質を考察するが,この取扱いに二つの方法がある。一つはユークリッドによる古典的方法で,公理や公準と呼ばれる基礎の命題からはじめて論理的な論法で図形の性質を順次に証明していくという方法である。この際,数や代数学は用いられず,もっぱら図形が使用される。他の方法はP.deフェルマーやR.デカルトによって出された方法で,平面や空間に座標を導入して,図形を数の間の関係によって表し,また逆に数の間の関係を図形で表現して,図形の問題を数の問題に翻訳し,代数の計算によって幾何の問題を処理するというものである。

出典:株式会社平凡社
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日本大百科全書(ニッポニカ)

解析幾何学
かいせききかがく

座標系を用いて図形を数式で記述し、代数的計算によって古典幾何学の問題を処理する手法をいう。これは用いられる手法に対する名称であって、ユークリッド幾何学、リーマン幾何学、位相幾何学などのように幾何学の内容を表すものではなく、またそこで用いられる手法は主として線形代数学であるから「古典幾何学における代数的手法」というほうが適切である。解析幾何学は17世紀前半にR・デカルトによって始められ、平面または空間のユークリッド幾何学が考察の対象であったが、今日では広く古典幾何学一般が取扱いの対象とされる。しかし、普通に解析幾何学というときには、「ユークリッド幾何学における代数的手法」を意味することが多い。たとえば、二次元の場合には直交座標に関しては直線は一次方程式で表され、二次曲線(円、楕円(だえん)、双曲線、放物線)は二次方程式で表される。(x,y)を直交座標とするとき、2点(x1,y1)、(x2,y2)を通る直線の方程式は

である。とくに2点(a,0)、(0,b)を通る直線は

で表される(切片形)。中心が原点で、長軸、短軸が座標軸の方向に一致している楕円は

で表される。とくにa=bならば円である。適当に座標変換(回転と平行移動)をすれば楕円の方程式はいつでもこの形(標準形)にすることができる。その際に用いられる代数的手法は二次形式の標準化(対称行列の固有値問題)である。双曲線、放物線についても同様である。三次元の場合には、直交座標に関して一次方程式で表される図形は平面であり、直線は連立一次方程式で表される。また、二次曲面(球面、楕円面、一葉双曲面、二葉双曲面など)は二次方程式で表される。

 一般にn個の実数の組(x1,x2,……,xn)全体の集合に対して2点(x1,x2,……,xn)、(y1,y2,……,yn)の間の距離を

と定義することによって、n次元ユークリッド幾何学を代数的に構成することができる(n次元の解析幾何学)。ユークリッド幾何学以外の古典幾何学(非ユークリッド幾何学、アフィン幾何学、射影幾何学など)に対してもまったく同様に「~幾何学における代数的手法」がある。ただし、用いる座標系はそれぞれの幾何学で異なる。たとえばアフィン幾何学や射影幾何学では「直交」座標という概念は意味をもたない。すべての幾何学の問題に対して座標系を用いる代数的手法が最適であるとは限らない。座標を用いないで図形を直接考察する方法を、解析幾何学に対して総合幾何学または純粋幾何学という。

[荻上紘一]

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精選版 日本国語大辞典

かいせき‐きかがく【解析幾何学】
〘名〙 解析学の方法を用いて幾何学の図形を研究する数学の一部門。図形を、座標と呼ばれる一組の数を変数とする方程式で表わして分析し、その結果を幾何学的に解釈する。一七世紀、フランスのデカルト、フェルマーらによって始められた。〔工学字彙(1886)〕

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