●軌跡【きせき】

与えられた条件 (c) を満たしながら移動する点の集合として得られる図形 F を，(c) を満たす点の軌跡という。軌跡であるためには，(1) (c) を満たす点はすべて図形 F の上にあり，(2) 図形 F 上の点はすべて (c) を満たさなければならない。軌跡は方程式で表わすこともできる。軌跡 F 上の点 (x，y) の満たすべき条件を式で表わしたものを，この軌跡の方程式という。簡単な軌跡の例をあげると次のようなものがある。 (1) 定点から一定距離にある点の軌跡は円である。直交座標系O- xy をとり，定点を原点に重ね，一定距離を r とすると，この軌跡の方程式は，x²＋y²＝r² で与えられる。 (2) 2定点からの距離の平方の差が一定 k² である点の軌跡は直線である。直交座標系O- xy において，2定点の座標を P₁(－a，0)，P₂(a，0) とし，条件を満たす点の座標を P(x，y) とすると，この軌跡は，x＝±k²/4a の方程式で表わされる。

１ 車輪の通った跡。轍(わだち)。
２ 先人の行いの跡。
３ ある人や物事がたどってきた跡。「作家の心の軌跡をたどる」
４ 数学で、点が一定の条件に従って動くときに描く図形。例えば、定点から一定の距離を保ちながら動く点の軌跡は円となる。

平面上または空間内の図形Mが一定の条件Cをみたす点全体からできているとき，すなわち，〈点Pが図形M上にある〉という命題と〈点Pは条件Cをみたす〉という命題が同値となるとき，図形Mを条件Cをみたす点の軌跡という。軌跡というと，点が動いたときにできる曲線を連想するので，曲線にならない場合は除くように思われがちだが，けっしてそうではなく，上のようにある性質をもつ点全体のことを軌跡といい，軌跡となる図形が何であるかは問わないのである。

与えられた条件Cに適する点の集合のつくる図形Fを、条件Cの軌跡という。軌跡は普通、線や面であるが、平面上や空間の領域や空集合になることもある。理論的にいうと、条件Cに適する点の軌跡が図形Fであるというのは、次の二つのことを意味する。(1)Cに適する点はFに属する。(2)Fに属する点はCに適する。［栗田　稔］

平面上のおもな軌跡

平面上の軌跡には、以下のようなものがある（図）。(1)1点Oから一定の距離rにある点の軌跡は、Oを中心とする半径rの円（円周）である。(2)2点A、Bからの距離が等しい点の軌跡は、線分ABの垂直二等分線である。(3)定直線lへの距離が一定である点の軌跡は、lに平行な2直線である。(4)角の内部にあって角の2辺への距離が等しい点の軌跡は、この角の二等分線である。(5)線分ABを一定の角に見る点の軌跡は、ABを弦とする二つの円弧である。(6)m、nが異なる正数のとき、2点A、Bからの距離の比がm対nである点の軌跡は、線分ABをこの比に内分する点と外分する点を直径の両端とする円（円周）である（アポロニウスの円）。(7)2点F、F′の距離がcのとき、F、F′からの距離の和がcより大きい定数である点の軌跡は、F、F′を焦点とする楕円(だえん)である。また、F、F′からの距離の差がcより小さい定数である点の軌跡は、F、F′を焦点とする双曲線である。(8)1点Fと、これを通らない直線lへ至る距離が等しい点の軌跡は、Fを焦点、lを準線とする放物線である。［栗田　稔］

空間における軌跡

(1)1点Oから一定の距離rにある点の軌跡は、Oを中心とする半径rの球面である。(2)2点A、Bから等距離にある点の軌跡は、線分ABの垂直二等分面である。(3)1平面pから一定の距離にある点の軌跡は、pに平行な2平面である。(4)二面角（半直線を共有する二つの半平面）への距離が等しい点の軌跡は、この二面角を2等分する平面である。(5)一定の線分ABを直角に見る点の軌跡は、ABを直径とする球面である。［栗田　稔］

座標と軌跡

座標平面上で、x、yの方程式を満たすx、yを直角座標とする点の軌跡が図形Fのとき、この方程式はFを表すという。x、yの一次方程式は直線を表す。また、空間では、直角座標x、y、zについての一次方程式は平面を表す。［栗田　稔］