●軌跡【きせき】

与えられた条件 (c) を満たしながら移動する点の集合として得られる図形 F を，(c) を満たす点の軌跡という。軌跡であるためには，(1) (c) を満たす点はすべて図形 F の上にあり，(2) 図形 F 上の点はすべて (c) を満たさなければならない。軌跡は方程式で表わすこともできる。軌跡 F 上の点 (x，y) の満たすべき条件を式で表わしたものを，この軌跡の方程式という。簡単な軌跡の例をあげると次のようなものがある。 (1) 定点から一定距離にある点の軌跡は円である。直交座標系O- xy をとり，定点を原点に重ね，一定距離を r とすると，この軌跡の方程式は，x²＋y²＝r² で与えられる。 (2) 2定点からの距離の平方の差が一定 k² である点の軌跡は直線である。直交座標系O- xy において，2定点の座標を P₁(－a，0)，P₂(a，0) とし，条件を満たす点の座標を P(x，y) とすると，この軌跡は，x＝±k²/4a の方程式で表わされる。

１ 車輪の通った跡。轍(わだち)。
２ 先人の行いの跡。
３ ある人や物事がたどってきた跡。「作家の心の軌跡をたどる」
４ 数学で、点が一定の条件に従って動くときに描く図形。例えば、定点から一定の距離を保ちながら動く点の軌跡は円となる。

平面上または空間内の図形Mが一定の条件Cをみたす点全体からできているとき，すなわち，〈点Pが図形M上にある〉という命題と〈点Pは条件Cをみたす〉という命題が同値となるとき，図形Mを条件Cをみたす点の軌跡という。軌跡というと，点が動いたときにできる曲線を連想するので，曲線にならない場合は除くように思われがちだが，けっしてそうではなく，上のようにある性質をもつ点全体のことを軌跡といい，軌跡となる図形が何であるかは問わないのである。

与えられた条件Cに適する点の集合のつくる図形Fを、条件Cの軌跡という。軌跡は普通、線や面であるが、平面上や空間の領域や空集合になることもある。理論的にいうと、条件Cに適する点の軌跡が図形Fであるというのは、次の二つのことを意味する。(1)Cに適する点はFに属する。(2)Fに属する点はCに適する。

［栗田　稔］