●集合【しゅうごう】

ものの集まりを集合といい、集合に入る要素を元という。集合という時には、ある要素がその集まりの中に含まれているかどうかを明確に区別できなければならず、いわば〇×の世界である。19世紀にカントール(G.Cantor)は集合論を誕生させ、無限にも量的な違いがあることを認識し、濃度という概念を導入した。自然数全体の集合は無限個の元を含むが、その元は1、2、3、4……というようにどこまでも並べていくことができる。このような無限を可算濃度という。整数全体の集合、有理数全体の集合、代数的数全体の集合も可算濃度である。カントールは、実数全体の集合がこのように並べられないことを示した。この濃度を連続体濃度といい、可算濃度よりも大きな濃度になる。複素数全体の集合も連続体濃度である。一方、世の中には〇か×ではない現象が多い。例えば、気温は暑い、寒いの2種類ではなく、少し暑いや少し寒いなどの中途半端な状態が存在する。このように、〇×の世界ではない「あいまいさ」を扱うために考案されたのが、1965年にザデー(L.A.Zadeh)によって発表されたファジー集合の理論。ファジー理論は、制御、パターン認識、人工知能などへの幅広い応用が考えられている。
(桂利行 東京大学大学院教授 ／ 2007年)

［名］(スル)
１ 1か所に集まること。また、集めること。「駅前に八時に―する」⇔解散。
「森羅万象を―して自在に己れの材料と為し」〈鉄腸・花間鶯〉
２ 数学の基本概念の一。物の集まりで、個々の物がその集まりの中に属するかどうか、かつ、その集まりの中の二つの物が等しいかどうかが明確に判定できるものをいう。個々の物を元(げん)または要素という。

→砕屑物

　→凝集

数学で記述を整理し明確化するために，19世紀後半に導入された概念。素朴には，〈思考の対象として明確な意味をもつもので指定した範囲内にあるものを集めたものを集合といい，その集められたものをその集合の元または要素という〉といえばよいが，多少の補足が必要である。　まず，われわれは物を区別したり，まとめたり，ときに応じて適宜処理している。例えば分数1/2と小数0.5とは，数としては同じであるが表記としては別であるから，1/2と0.5とを同じと考えるときと別と考えるときとがある。

数学でいう集合とは，次の 2条件を満たす，直観または思考の対象となる物の集りを一つの対象としてまとめたもののことである。(1) 集合に入っている個々の物は，みな異なっている。すなわち，その集合から二つの物を取出すと，相等しいかあるいは相異なるかが識別できる。(2) 考えている範囲における任意の物は，考えている集合に入っているか入っていないかのいずれか一方であることが決定できる。すなわち，ある物がその集合に入っているかどうかを識別することができる。ただし，このように集合の「定義」を漠然と考えていると，ラッセルの逆理のような矛盾が生じる。それで，きっちりした数学として集合論を考えるときは，集合を無定義術語として公理系を立てて論じる。集合をつくっている個々の対象物を，集合の元あるいは要素といい，a が集合 A の元であることを a∈A または A∋a と書き，「a は A に属する」または「A は a を含む（a は A に含まれる）」と読む。また a が集合 A の元でないことを a∉A または A∌a で表わし，「a は A に属さない」または「A は a を含まない」と読む。集合のことを空間，元を点ということもある。

教室の机や椅子(いす)とか、1から50までの自然数のようにはっきり定義されたものを一つの全体として考えたものを、それらの対象の集合といい、それらの対象をその集合の元(げん)とか要素という。aが集合Aの元であることをa∈Aと書き、aはAに属するとか、Aはaを含むという。集合をつくる対象は、机や椅子のように実在しているものでもよいし、頭のなかで架空的に考えられたものでもよい。有限個の元からできている集合を有限集合という。それに対して、自然数1、2、3、……の全体、直線上の点の全体はいずれも集合であるが、これらの集合はその元を数えきることができない。このような無限個の元を含む集合を無限集合という。集合の元の個数を濃度という。一つの集合を定義するのには2通りの方法がある。一つは、集合の要素をa、b、c、……のように列記する方法である。この集合を｛a, b, c,……｝と書く。もう一つは、ある性質が与えられたとき、その性質をもっているもの全体を一つの集合とする方法である。「nは自然数である」という性質をもつnの全体は自然数全体の集合ということになる。その性質をもつような対象がないとき、この性質は、元を一つも含まない集合を与えることになる。元をまったく含まない集合を空(くう)集合といい、しばしばという記号で表す。二つの集合AとBについて、Aのどの元も同時にBの元であるとき、集合Aは集合Bの部分集合であるといい、A⊂Bと書く。どの集合Aについても⊂Aである。AがBの部分集合(A⊂B)で、同時にBがAの部分集合(B⊂A)であるとき、すなわちAとBの元が同じとき、AとBは等しいといい、A＝Bと書く。［西村敏男］

集合演算

AとBを集合とするとき、AかBの少なくとも一方に属する元の全体をAとBの和集合とか合併集合といい、A∪Bと書く（図の）。AとBの両方に属する元の全体をAとBの共通集合といい、A∩Bと書く（図の）。A＝｛1, 2, 3, 4｝、B＝｛2, 3, 5｝のとき、A∪B＝｛1, 2, 3, 4, 5｝、A∩B＝｛2, 3｝である。ある集合Uの部分集合だけを考えるとき、集合Uを全体集合という。たとえば、実数の集合だけを考えるときには、実数全体の集合が全体集合であり、平面上の点集合だけを考えるときは、平面上の点全体の集合が全体集合である。Uを全体集合とし、Aをその部分集合とする。Aに属さないUの元の全体をAの補（余）集合といい、A′などと書く（図の）。このとき次の関係が成り立つ。
(1) A∪A′＝U, A∪＝A
(2) A∪A＝A（吸収法則）
(3) A∪B＝B∪A（交換法則）
(4) (A∪B)∪C＝A∪(B∪C)（結合法則）
(5) A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)（分配法則）
(6)(A∪B)′＝A′∩B′（ド・モルガンの法則）
また次の関係も成り立つ。
(1)′A∩A′＝, A∩U＝A
(2)′A∩A＝A
(3)′A∩B＝B∩A
(4)′(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)
(5)′A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)
(6)′(A∩B)′＝A′∪B′
これら2組みの演算法則(k)と(k)′の間には次の関係がある。すなわち、(k)の記号∩、∪、U、をそれぞれ∪、∩、、Uで置き換えると(k)′になる。またこの逆も成り立つ。これを双対(そうつい)の原理という。二つの集合AとBについて、a∈Aでb∈Bである対(a, b)の全体をAとBの（直）積集合といい、A×Bと書く。A＝｛1, 2｝、B＝｛a, b, c｝であるとき、
　　A×B＝｛(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)｝
である。XとYをともに実数全体の集合とするとき、X×Yは、実数s、tの対(s, t)の全体となり、これは平面上の点の全体の座標の集合と考えることができる（図の）。集合Aの部分集合の全体からなる集合をAのべき集合という。A＝｛1, 2｝のとき、Aのべき集合は｛,｛1｝,｛2｝,｛1, 2｝｝である。［西村敏男］
『矢野健太郎著『集合』（1973・共立出版）　▽ヴィレンキン著、柴岡泰光訳『集合の話』（1975・東京図書）　▽細井勉著『集合・論理』（1982・共立出版）　▽小林善一著『算数と集合』（1972・東洋館出版社）』