●面積【めんせき】

2次元の領域の広さを表す量。初等幾何学では，長方形の面積を基礎にして，それを等積変形した平行四辺形の面積，さらにその半分の三角形の面積が考えられる。多角形は三角形に分割できるので，面積が考えられる。曲線で囲まれた領域については，なんらかの意味で極限概念が必要であり，一般的には の形で定義できる。この積分概念をどのように定式化するかということでは，これは測度 m の議論と本質的に同じである。曲面の面積については，曲面上の測度を考えればよいわけであるが，それを多面体から近似しようと思うと，内接多面体ではだめで，外接つまり微分を考えて面積要素 ds を用いて という 2次式の形になる。

ある場所の広さ。線で囲まれる平面や曲面の広さ。単位は平方メートル、アールなど。「国土の面積」「作付け面積」

(1)平面図形の面積　平面の部分を囲む図形の大きさを，単位の長さをもつ線分を1辺とする正方形の大きさを基準として測ったときの数値がその図形の面積であると通常は説明されている。しかし図形の大きさについては何も述べられていないので，この説明をもって面積の定義とするのは無理である。そこで数学では積分をもって面積を定義する。すなわち，平面上の有限の範囲内に集合Kがあるとき，Kを含む長方形Iをとって，Iの点Pに対しPがKに属せばφ(P)＝1，そうでなければφ(P)＝0として，関数φ(P)を定義し，この関数がI上で積分可能ならばKは面積確定であるといい，その値をKの面積という。

線で囲まれた平面の一部分の広さのことをいう。平面図形Dの面積というのは、一辺の長さ1の正方形の面積を1としてDがその何倍にあたるかを示すものである。面積の計算の原理は次のようになっている。

〔1〕二つの平面図形D₁、D₂をあわせてできる平面図形の面積はD₁、D₂の面積の和に等しい。〔2〕D₂がD₁の一部分のとき、D₂の面積はD₁の面積より大きくない。〔3〕合同な二つの平面図形の面積は等しい。

［栗田　稔］