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p進数【ぴーしんすう】

日本大百科全書(ニッポニカ)

p進数
ぴーしんすう
pを一つの素数とする。riを0≦ripのような整数とするとき、無限級数

p進数という。aを正の整数とすると、a
  a=r0+r1p+……+rmpm
   (0≦rip)
と表されるので、p進数の特別の場合とみることができる。たとえば、p=7のとき、
  121=2+17・7=2+(3+2・7)・7
    =2+3・7+2・72
負の整数を有限和で表すことはできない。しかし、無限級数の形に表そうとするなら、それは可能である。たとえば、
  -3=4+(-1)・7
    =4+6・7+(-1)・72
    =4+6・7+6・72+6・73+……
分母bpで割り切れない分数1/bも、無限級数の形にすることができる。たとえば、
  1=4・2+(-1)・7=4・2+4・5・7+(-3)・72
   =4{2+5・7+1・72+(-1)・73}=……
となるから、
  1/4=2+5・7+1・72+……
これは右辺をr0+r1p+r2p2+……と置き、順にr0r1、……を定めてもよい。
 一般に有理数は
  a=ps(r0+r1p+r2p2+……)
と無限級数で表される。この右辺の形の無限級数をp進数というのである。有理数はp進数であるが、p進数は有理数を表すとは限らない。p進数の全体は可換体をつくり、これをp進体という。整数論の研究のために考え出されたものである。[寺田文行]

出典:小学館 日本大百科全書(ニッポニカ)
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